Integral de Fresnel

Archiu:Fresnel Integrals (Unnormalised).svg

S(x) i C(x) El màxim de $C(x)$ és 0,977451424. Si s'utilisa πt²/2 en lloc de t², llavors l'image estaria escalada verticalment i horisontalment (vore comentari avall).

Les integrals de Fresnel $S(x)$ i $C(x)$ són dos funcions transcendentals nomenades en honor a Augustin-Jean Fresnel i que són amprades en camps que es basen en equacions d'ones, com l'òptica. Les mateixes s'originen en realisar l'anàlisis de fenomens de difracció de Fresnel en el camp pròxim, i es definixen segons les següents expressions integrals:

$S(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\mathrm{sen}(t^2)dtC(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos (t^2)dt$

Les gràfiques simultànees paramètriques de $S(x)$ i $C(x)$ és la espiral de Cornu, o clotoide.

Definició

Integrals normalisades de Fresnel, S(x) i C(x). En estes curves, l'argument de la funció trigonometrica és πt²/2, a diferència de t² en l'eixemple previ.

Les integrals de Fresnel admeten les següents expansions en série de potències que convergixen per a tot $x$:

$\begin{array}{cc}S(x)& =\underset{0}{\overset{x}{\int }}\mathrm{sen}(t^2)dt=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}\\ C(x)& =\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos (t^2)dt=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}\end{array}$

Definicions alternatives

Alguns autors, inclosos Abramowitz i Stegun, (ec 7.3.1 – 7.3.2) utilisen $\pi t^2/2$ com a exponent de les integrals que definixen a S(x) i C(x). Per a obtindre les mateixes funcions es deu multiplicar l'integral per $\sqrt{2/\pi }$ i dividir l'argument x pel mateix factor.

Espiral de Cornu

Espiral de Cornu (x,i)=(C(t), S(t)). L'espiral convergix al centre de les dos moles extrems de l'image, a mida que t tendix a més infinit i menys infinit.

La espiral de Cornu, també coneguda com clotoide, és la curva les equacions paramètriques de la qual vénen donades per S(t) i C(t). l'espiral de Cornu va ser creada per Marie Alfred Cornu com un nomograma per als càlculs de difracció òptica.

ya que:

$C^{\prime }(t{)}^2+S^{\prime }(t{)}^2={\sin }^2(t^2)+{\cos }^2(t^2)=1$

en esta parametrización el vector tangente té llongitut unitat i t és la llongitut d'arc mida a partir de (0,0) (i incloent signe), de lo que es deduïx que la curva té llongitut infinita.

Ademés l'espiral de Cornu té la propietat de la seua curvatura en qualsevol punt és proporcional a la distància a lo llarc de la curva medida des de l'orige. Esta propietat fa que siga útil com curva de transició en el traçat d'autopistes o ferrocarrils, ya que un vehícul que seguixca dita curva a velocitat constant tindrà una acceleració angular constant. Igualment les seccions d'esta espiral clotoide són usades comunament en montanyes russes per lo que alguns regressos complets es coneixen com loops "clotoides".

Vore també

• Augustin-Jean Fresnel
• Zona de Fresnel
• Zone plate

Referències

• R. Nau, The Cornu spiral, Hyperphysics (2002) (Uses πt²/2 instead of t².)
• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formules, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 7)
• «Roller Coaster Loop Shapes». Archivat des d'el original, el 23 de setembre de 2008. Consultat el 13 d'agost de 2008.