Isomorfisme d'órdens

En el camp matemàtic de la teoria de l'orde, un isomorfisme d'órdens és un tipo especial de funció monòtona que constituïx una noció adequada d'isomorfisme per a conjunts parcialment ordenats. Dos conjunts parcialment ordenats isomorfos es poden considerar essencialment iguals: es pot recuperar l'orde d'un a partir del de l'atre. Dos nocions estrictament més dèbils que es relacionen en els isomorfismes d'órdens són les immersions d'órdens i les conexions de Galois.

Definició

Formalment, daus dos conjunts parcialment ordenats $(S,{\le }_S)$ i $(T,{\le }_T)$, un isomorfisme d'órdens de $(S,{\le }_S)$ a $(T,{\le }_T)$ és una funció biyectiva $f$ de $S$ en $T$ en la propietat de que, per a cada $x$, $y$ en $S$, es té $x{\le }_{S}y$ si i solament si $f(x){\le }_{T}f(y)$. Açò és, per definició, una immersió d'órdens biyectiva.

També és possible definir un isomorfisme d'órdens com una immersió d'órdens sobreyectiva. Puix si $f$ conserva ordenaments, es pot assegurar que $f$ és inyectiva: si $f(x)=f(y)$ (és dir, si $f(x)\le f(y)$ i $f(y)\le f(x)$) se seguiria que $x\le y$ i que $y\le x$, després per definició d'orde parcial $x=y$. En particular, quan l'orde del domini és llineal, tota funció estrictament creixent és immersió d'órdens, després tota funció estrictament creixent i sobreyectiva és isomorfisme.

Una tercera caracterisació dels isomorfismes d'orde és que són exactament les biyecciones monòtones (creixents) en inversa monòtona.

Un isomorfisme d'orde d'un conjunt parcialment ordenat en sí mateixa es denomina automorfisme d'orde.

Quan s'impon una estructura algebraica adicional a la de conjunt parcialment ordenat per a $(S,{\le }_S)$ i $(T,{\le }_T)$, una funció de $(S,{\le }_S)$ a $(T,{\le }_T)$ deu satisfer propietats adicionals per a ser considerat com un isomorfisme. Per eixemple, daus dos grups parcialment ordenats $(G,{\le }_G)$ i $(H,{\le }_H)$, un isomorfisme de grups parcialment ordenats de $(G,{\le }_G)$ en $(H,{\le }_H)$ és un isomorfisme d'órdens que també és un isomorfisme de grups.

Eixemples

• La funció identitat en qualsevol conjunt parcialment ordenat és sempre un automorfisme d'orde.
• La negació és un isomorfisme d'orde de $(ℝ,\le )$ a $(ℝ,\ge )$ (on $ℝ$ és el conjunt d'els número real i $\le$ denota la comparació numèrica usual), ya que −x ≥ −i si i solament si x ≤ i .
• l'interval obert $(0,1)$ (novament, ordenat numèricament) no té un isomorfisme d'orde cap a o des del interval tancat $[0,1]$ : l'interval tancat té un element mínim, mentres que l'interval obert no, i els isomorfismes d'orde preserven l'existència d'elements mínims.

• Pel teorema de isomorfía de Cantor, tot orde llineal, dens, numerable i no acotat és isomorfo a l'orde dels número racional. La funció de signe d'interrogat de Minkowski proporciona un isomorfisme d'orde explícit entre els número algebraico quadràtics, els número racional i els números racionals diàdics.

Referències

• .
• .
• .
• .