Mòdul elàstic

Un mòdul elàstic és una constant elàstica derivada de les propietats elàstiques dels materials, gasos, decorreguts i sòlits, que involucra una mida relacionada en la tensió i una mida relacionada en la deformació.^[1] El mòdul elàstic d'un objecte es definix com la pendent de la seua curva tensió-deformació en la regió de deformació elàstica:^[2] Un material més rígit tindrà un mòdul elàstic major. Un mòdul elàstic té la forma

δ \overset{def}{=} \frac{tensión}{deformación}

a on tensió és la força que causa la deformació dividida per l'àrea a la que s'aplica la força i deformació és la relació entre el canvi d'algun paràmetro causat per la deformació i el valor original del paràmetro. Ya que la deformació és una cantitat adimensional, les unitats de $δ$ seran les mateixes que les de la tensió.^[3] Els materials elàstics isótropo queden caracterisats per un mòdul elàstic i un coeficient elàstic (o raó entre dos deformacions). És dir, conegut el valor d'un dels mòduls elàstics i del coeficient de Poisson es poden determinar els atres mòduls elàstics. Els materials ortótropos o anisótropos requerixen un número de constants elàstiques major.

Les constants elàstiques que reben el nom de mòdul elàstic són les següents:

Mòdul de Young es designa usualment per $E$ . Està associat directament en els canvis de llongitut que experimenta un cable, un aram, una vareta, etc. quan està somés a l'acció de tensions de tracció o de compressió. Per eixa raó se li crida també mòdul elàstic llongitudinal.
Mòdul de compresibilidad es designa usualment per $K$ . Està associat en els canvis de volum que experimenta un material baix l'acció d'esforços (generalment compressors) que actuen perpendicularment a la seua superfície. No implica canvi de forma, tan sol de volum.
Mòdul elàstic travesser es designa usualment per $G$ . Està associat en el canvi de manera que experimenta un material baix l'acció d'esforços tallants. No implica canvis de volum, tan sol de forma. També se li crida mòdul elàstic tangencial i mòdul elàstic tallant

Atres dos mòduls elàstics són el primer paràmetro de Lamé, λ, i el mòdul d'ona P, M, com s'utilisa en la taula de comparacions de mòduls que es dona en les següents referències.

Materials elàstics isótropo

Materials homogéneus i isótropo (similars en totes les direccions) els materials (sòlits) tenen les seues propietats elàstiques (llineals) completament descrites per dos mòduls elàstics, i es pot elegir qualsevol parell. Donat un parell de mòduls elàstics, tots els demés mòduls elàstics poden calcular-se segons les fòrmules de la taula que apareix al final de la pàgina.

Els decorreguts inmiscibles són especials en el sentit de que no poden soportar esforços de cisallament, lo que significa que el mòdul de cisallament és sempre zero. Açò també implica que el mòdul de Young per a este grup és sempre zero.

En alguns texts, el mòdul d'elasticitat es denomina constant elàstica, mentres que la cantitat inversa es denomina mòdul elàstic.

En el Sistema Internacional d'Unitats, els mòduls s'expressen en newtons/metro quadrat (N/m²) i el coeficient és adimensional.

Es té, puix, un total de sis constants elàstiques comunament utilisades: L , ν, K , G , λ i μ . Dos qualsevol d'elles caracterisen completament el comportament elàstic, és dir, qualsevol paràmetro elàstic d'un material pot expressar-se com a funció de dos qualssevol paràmetros anteriors. Òbviament, tots estos parells de constants elàstics estan relacionats, com es resumix en la següent taula:

**Relacions entre constants elàstiques per a un material isotrópico llineal**
	$E$ : mòdul d'elasticitat $ν$ : coeficient de Poisson	$K$ : mòdul de compresibilidad $G$ : mòdul de cisallament	$λ$ : 1r coeficient de Lamé $μ$ :2nº coeficient de Lamé
$(E, ν)$	--	$K = \frac{E}{3 (1 - 2 ν)}$ $G = \frac{E}{2 (1 + ν)}$	$λ = \frac{ν E}{(1 + ν) (1 - 2 ν)}$ $μ = \frac{E}{2 (1 + ν)}$
$(K, G)$	$E = \frac{9 K (K - 2 G)}{3 K + G}$ $ν = \frac{1}{2} \frac{3 K - 2 G}{3 K + G}$	--	$λ = K - \frac{2 G}{3}$ $μ = G$
$(Λ, μ)$	$E = \frac{μ (3 λ + 2 μ)}{λ + μ}$ $ν = \frac{λ}{2 (λ + μ)}$	$K = λ + \frac{2 μ}{3}$ $G = μ$	--

Expressades en térmens del mòdul de Young i el coeficient de Poisson, les equacions constitutives són:

(\begin{matrix} ε_{X X} \\ ε_{i i} \\ ε_{z z} \\ ε_{x y} \\ ε_{x z} \\ ε_{y z} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{1}{E} & - \frac{ν}{E} & - \frac{ν}{E} \\ - \frac{ν}{E} & \frac{1}{E} & - \frac{ν}{E} \\ - \frac{ν}{E} & - \frac{ν}{E} & \frac{1}{e} \\ \frac{2 (1 + ν)}{E} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 (1 + ν)}{E} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2 (1 + ν)}{e} \end{matrix}) (\begin{matrix} σ_{X X} \\ σ_{i i} \\ σ_{z z} \\ σ_{x y} \\ σ_{x z} \\ σ_{y z} \end{matrix})

Les relacions inverses estan donades per:

(\begin{matrix} σ_{X X} \\ σ_{i i} \\ σ_{z z} \\ σ_{x y} \\ σ_{x z} \\ σ_{y z} \end{matrix}) = \frac{E}{1 + ν} (\begin{matrix} 1 + α & α & α \\ α & 1 + α & α \\ α & α & 1 + α \\ \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} ε_{X X} \\ ε_{i i} \\ ε_{z z} \\ ε_{x y} \\ ε_{x z} \\ ε_{y z} \end{matrix})

a on $α : = \frac{ν}{1 / 2 ν}$

Materials elàstics ortotrópicos

Alguns materials elàstics són anisótropos, lo que significa que el seu comportament elàstic, concretament la relació entre tensions aplicades i deformacions unitàries, és diferent per a distintes direccions. Una forma comuna d'anisotropía és la que presenten els materials elàstics ortotrópicos en els que el comportament elàstic queda caracterisat per una série de constants elàstiques associades a tres direccions mútuament perpendiculars. L'eixemple més conegut de material ortotrópico és la fusta, que presenta diferent mòdul d'elasticitat a lo llarc de la fibra, tangencialmente als anells de creiximent i perpendicularment als anells de creiximent.

El comportament elàstic d'un material ortotrópico queda caracterisat per nou constants independents: 3 mòduls d'elasticitat llongitudinal (N_x, I_i, I_z ), 3 mòduls de rigidea (G_xi, G_iz, G_xz) i 3 coeficients de Poisson (ν_xy, ν_yz, ν_xz). De fet, per a un material ortotrópico, la relació entre les components del tensor de tensions i les components del tensor de deformació ve donada per:

(\begin{matrix} ε_{X X} \\ ε_{i i} \\ ε_{z z} \\ ε_{x y} \\ ε_{x z} \\ ε_{y z} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{1}{E_{x}} & - \frac{ν_{i x}}{E_{y}} & - \frac{ν_{z x}}{E_{z}} \\ - \frac{ν_{x y}}{E_{x}} & \frac{1}{E_{y}} & - \frac{ν_{z i}}{E_{z}} \\ - \frac{ν_{x z}}{E_{x}} & - \frac{ν_{i z}}{E_{y}} & \frac{1}{E_{z}} \\ \frac{1}{2 G_{x i}} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2 G_{x z}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2 G_{i z}} \end{matrix}) (\begin{matrix} σ_{X X} \\ σ_{i i} \\ σ_{z z} \\ σ_{x y} \\ σ_{x z} \\ σ_{y z} \end{matrix})

A on: $\frac{ν_{i x}}{E_{y}} = \frac{ν_{x y}}{E_{x}} \frac{ν_{z x}}{E_{z}} = \frac{ν_{x z}}{E_{x}} \frac{ν_{i z}}{E_{y}} = \frac{ν_{z i}}{E_{z}} (*)$

Com pot vore's, les components que governen l'allargament i les que governen la distorsió estan desacopladas, lo que significa que en general és possible produir allargament entorn a un punt sense provocar distorsió i viceversa. Les equacions inverses que donen les deformacions en funció de les tensions prenen una forma alguna cosa més complicada:

(\begin{matrix} σ_{X X} \\ σ_{i i} \\ σ_{z z} \\ σ_{x y} \\ σ_{x z} \\ σ_{y z} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{1 - ν_{i z} ν_{i z}}{E_{y} E_{z} Δ} & \frac{ν_{i x} + ν_{i z} ν_{z x}}{E_{y} E_{z} Δ} & \frac{ν_{z x} + ν_{z i} ν_{i x}}{E_{y} E_{z} Δ} \\ \frac{ν_{x y} + ν_{x z} ν_{z i}}{E_{x} E_{z} Δ} & \frac{1 - ν_{z x} ν_{x z}}{E_{x} E_{z} Δ} & \frac{ν_{z i} + ν_{z x} ν_{x y}}{E_{x} E_{z} Δ} \\ \frac{ν_{x z} + ν_{x y} ν_{i z}}{E_{x} E_{y} Δ} & \frac{ν_{i z} + ν_{i x} ν_{x z}}{E_{x} E_{y} Δ} & \frac{1 - ν_{x y} ν_{i x}}{E_{x} E_{y} Δ} \\ 2 G_{x i} & 0 & 0 \\ 0 & 2 G_{x z} & 0 \\ 0 & 0 & 2 G_{i z} \end{matrix}) (\begin{matrix} ε_{X X} \\ ε_{i i} \\ ε_{z z} \\ ε_{x y} \\ ε_{x z} \\ ε_{y z} \end{matrix})

A on:
$Δ : = \frac{1 - ν_{x y} ν_{i x} - ν_{x z} ν_{z x} - ν_{i z} ν_{z i} - 2 ν_{x y} ν_{i z} ν_{z x}}{E_{x} E_{y} E_{z}}$

De fet, la matriu anterior, que representa el tensor de rigidea és simètrica

\frac{ν_{i x} + ν_{i z} ν_{z x}}{E_{y} E_{z} Δ} = \frac{ν_{x y} + ν_{x z} ν_{z i}}{E_{x} E_{z} Δ} \frac{ν_{z x} + ν_{z i} ν_{i x}}{E_{y} E_{z} Δ} = \frac{ν_{x z} + ν_{x y} ν_{i z}}{E_{x} E_{y} Δ} \frac{ν_{z i} + ν_{z x} ν_{x y}}{E_{x} E_{z} Δ} = \frac{ν_{i z} + ν_{i x} ν_{x z}}{E_{x} E_{y} Δ}

Referències

↑ Hartsuijker, C.; Welleman, J. W. (2001). Engineering Mechanics. Volume 2. Springer. ISBN 978-1-4020-4123-5
↑ Askeland, Donald R. (2006). The science and engineering of materials, 5th edició, Cengage Learning, p. 198. ISBN 978-0-534-55396-8.
↑ Beer, Ferdinand P. (2009). Mechanics of Materials, McGraw Hill, p. 56. ISBN 978-0-07-015389-9.

Este artícul conté una traducció derivada de «Módulo elástico» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Hartsuijker, C.; Welleman, J. W. (2001). Engineering Mechanics. Volume 2. Springer. ISBN 978-1-4020-4123-5

[2] Askeland, Donald R. (2006). The science and engineering of materials, 5th edició, Cengage Learning, p. 198. ISBN 978-0-534-55396-8.

[3] Beer, Ferdinand P. (2009). Mechanics of Materials, McGraw Hill, p. 56. ISBN 978-0-07-015389-9.

[1]

[2]

[3]