Mecànica de Nambu

En matemàtiques, la dinàmica de Nambu és una generalisació de la mecànica hamiltoniana que involucra múltiples hamiltonianos. La mecànica hamiltoniana està basada en els fluix generats per un hamiltoniano contínuament diferenciable sobre una varietat simpléctica. Els fluix són simplectomorfismos i per tant obedixen el teorema de Liouville. Pronte, açò es va generalisar a fluix generats per un hamiltoniano sobre una varietat de Poisson. En 1973, Yoichiro Nambu va propondre una generalisació utilisant varietats de Nambu-Poisson en més d'un hamiltoniano

Corchete de Nambu

En particular, es considera una varietat diferenciable $M$, per a un cert sancer $N\ge 2$; es té una aplicació suau $N$-llineal de $N$ còpies de $C^{\mathrm{\infty }}(M)$ en sí mateixes, tal que és completament antisimètric, el corchete de Nambu:

$\{h_1,\dots ,h_{N-1},\cdot \}:C^{\mathrm{\infty }}(M)\times \cdots C^{\mathrm{\infty }}(M)\to C^{\mathrm{\infty }}(M),$

que actua com una derivació,

$\{h_1,\dots ,h_{N-1},fg\}=\{h_1,\dots ,h_{N-1},f\}g+f\{h_1,\dots ,h_{N-1},g\},$

és dir, l'identitat de Filippov, anàloga a l'identitat de Jacobi pero, al contrari que esta, no antisimètrica en tots els arguments. Per a $N\ge 2$:

$\{f_1,\cdots ,f_{N-1},\{g_1,\cdots ,g_N\}\}=\{\{f_1,\cdots ,f_{N-1},g_1\},g_2,\cdots ,g_N\}+\{g_1,\{f_1,\cdots ,f_{N-1},g_2\},\cdots ,g_N\}+\dots$ $+\{g_1,\cdots ,g_{N-1},\{f_1,\cdots ,f_{N-1},g_N\}\},$

de manera que $\{f_1,\dots ,f_{N-1},\cdot \}$ actua com una derivació generalisada sobre el producte $\{\cdot ,\dots ,\cdot \}$.

Hamiltonianos i fluix

Existixen $N-1$ hamiltonianos, $H_1,\cdots ,H_{N-1}$, que generen un fluix incompresible,

$\frac{d}{dt}f=\{f,H_1,\dots ,H_{N-1}\},$

La velocitat en l'espai de fases no té divergència, per lo que es complix el teorema de Liouville. El cas $N=2$ es reduïx a una varietat de Poisson i a la mecànica hamiltoniana convencional.

Per a $N$ parells majors, els $N-1$ hamiltonianos s'identifiquen en el número maximal de invariantes del moviment independents (o cantitats conservades) que caracterisen un sistema superintegrable que evoluciona en un espai de fases $N$-dimensional. Estos sistemes també es poden descriure utilisant dinàmica hamiltoniana convencional, pero la seua descripció en el marc de la mecànica de Nambu és substancialment més elegant i intuïtiva, ya que els invariantes tenen la mateixa situació geomètrica que el hamiltoniano: la trayectòria en l'espai de fases és l'intersecció de les $N-1$ hipersuperficies especificades per estos invariantes. Aixina, el fluix és perpendicular a tots els $N-1$ gradient d'estos hamiltonianos, i per tant paralel al producte creuat generalisat especificat pel corchete de Nambu respectiu.

La mecànica de Nambu es pot estendre a la dinàmica de decorreguts, a on els corchetes de Nambu resultants són no canònics i els hamiltonianos s'identifiquen en els operadors de Casimir del sistema, com l'enstrofía o la helicidad.

La cuantización de la dinàmica de Nambu du a estructures de gran interés, que coincidixen en la cuantización convencional quan es tracten sistemes superintegrables, com és d'esperar.

Vore també

• Mecànica hamiltoniana
• Varietat simpléctica
• Varietats de Poisson
• Àlgebra de Poisson
• Sistema hamiltoniano integrable
• Cantitat conservada
• Mecànica de decorreguts hamiltoniana

Bibliografia

• (2003).Physical Review.D68(8)

085001.doi:10.1103/PhysRevD.68.085001.

• (1986).Sib. Math. Journal.26(6)

879–891.doi:10.1007/BF00969110.

• (1973).Physical Review.D7(8)

2405–2412.doi:10.1103/PhysRevD.7.2405.

• (1993).J. Phys. A.26(22)

1189–1193.doi:10.1088/0305-4470/26/22/010.

• (2015).J. Phys. A.48(10)

105501.doi:10.1088/1751-8113/48/10/105501.

• (2017).Fluids.2

24.doi:10.3390/fluids2020024.