Mecànica de la fractura

La mecànica de fractura és una branca de la mecànica de sòlits deformables ocupada de l'estudi de l'estabilitat estructural de materials, considerant la formació i propagació de clavills o defectes en materials i analisant condicions tensionales en la concentració de tensions deguda a dits defectes.

Utilisa métodos analítics derivats d'atres branques de la mecànica i la ciència de materials per a estudiar els mecanismes de formació i propagació de defectes, i métodos experimentals relatius a la mecànica de sòlits per a determinar les resistències relatives del material a la fractura.

La mecànica de fractura permet millorar el disseny de productes, aixina com processos de fabricació i inspecció per a controlar la propagació de defectes que podrien dur al fallo dels seus components, pero sense la necessitat d'usar coeficients de seguritat injustificats. Aplica les teories d'elasticitat i plasticidad, als defectes cristalográficos microscòpics dels materials per a predir la fractura macroscòpica mecànica en els cossos. La fractografía és altament utilisada en la mecànica de fractura per a entendre les causes de falla i verifica les prediccions teòriques identificant les falles reals.

Història

Relació energètica de Griffith

Es pot observar cóm les llínees es junten en els vèrtiços del clavill, a on hi ha concentració de tensions.

La Mecànica de la Fractura va escomençar a desenrollar-se durant la Primera Guerra Mundial pel ingenier aeronàutic anglés Alan Arnold Griffith per a explicar el fallo de materials fràgils. El treball de Griffith estava motivat per dos fets aparentment contradictoris:

• La tensió necessària per a la fractura del vidre és aproximadament de 100 MPa.
• La tensió teòrica per a trencar els enllaços atòmics del vidre era aproximadament de 10 000 MPa.

Era necessària una teoria que reconciliara estos dos fets contradictoris. Ademés els experiments en fibres de vidre, que el mateix Griffith va realisar, varen demostrar que la tensió de trencament aumentava quan el diàmetro de la fibra era menor. Per lo tant la resistència a tensió uniaxial, que s'havia usat extensament per a predir el trencament del material, no podia ser una propietat independent del material. Griffith va sugerir que la baixa resistència a la fractura observada en els experiments, de la mateixa manera que la depenent del tamany, era deguda a la presència de menuts trencaments microscòpics en la massa del material.

Per a comprovar l'hipòtesis de la fractura, Griffith va introduir una fractura artificial en les probetas experimentals. Dita fractura era molt major que atres fractures en la probeta. Els experiments varen demostrar que el producte de la raïl de la semilongitud del clavill ($a$) i la tensió en el clavill (${\sigma }_f$) era aproximadament constant, és dir:

${\sigma }_f\sqrt{a}\approx C.$

Una explicació a esta relació en térmens de la teoria d'elasticitat llineal podia ser problemàtica. L'elasticitat llineal prediu que la tensió, i indirectament la deformació, en el vèrtiç del clavill per a un material elàstic és infinita. Per a poder afrontar el problema, Griffith va desenrollar una aproximació termodinàmica per a explicar la relació que ell va observar.

El creiximent d'un clavill requerix la creació de dos noves superfícies lo que implica un increment en l'energia superficial. Griffith va trobar una expressió de la constant $C$ en térmens d'energia superficial del clavill per mig de resolució del problema elàstic d'un clavill finita en una placa elàstica. En l'aproximació es conseguix:

• Calcular l'energia potencial almagasenada en una mostra perfecta somesa a tensió uniaxial.

• Fixar el llímit en el qual la càrrega aplicada no treballa i escomença a obrir el clavill de la mostra. El clavill relaixa la tensió, i per tant reduïx l'energia elàstica prop de les cares de fractura. Per un atre costat, la fractura incrementa l'energia superficial total de la mostra.
• Finalment calcular l'intercanvi d'energia lliure (energia superficial - energia elàstica) en funció de la llongitut de la fractura.

El fallo ocorre quan l'energia lliure alcança un valor pique en la llongitut de clavill crític, si se supera l'energia lliure decreix per l'increment de la llongitut del clavill, per eixemple, causant la fractura. Griffith va usar este procediment per a trobar que:

$C=\sqrt{\frac{2E\gamma }{\pi }}$

a on $E$ és el mòdul de Young del material i $\gamma$ és la densitat d'energia superficial del material. Assumint $E=62$ GPa i $\gamma =1$ J/m² nos dona un resultat d'acort en la tensió de fractura suposta per Griffith per als seus experiments en vidre.

Modificació d'Irwin a la relació energètica de Griffith

Archiu:Tay bridge down. caps block 3

Caiguda del pont Tay Bridge.

El treball de Griffith va ser ignorat durant molt temps per la comunitat d'ingeniers fins als anys 1950. Les raons per a que ocorreguera açò poden ser: un, que per als materials estructurals actuals el nivell d'energia necessària per a causar la fractura és d'un orde molt major que el corresponent a l'energia superficial i dos en els materials estructurals sempre existixen deformacions inelásticas al voltant del front del clavill que feyen que l'hipòtesis d'un mig elàstic en tensions en l'infinit aplicades sobre la fractura fora molt poc realiste. F. Erdogan (2000)

La teoria de Griffith dona una excelent aproximació per als resultats experimentals de materials fràgils tals com els materials ceràmics, que són casi perfectament elàstics, en a penes deformació plàstica abans del trencament. No obstant, en els materials dúctilés com l'acer, es produïx deformació plàstica en els extrems dels clavills, que donen lloc a que disminuïxquen les tensions ans que es trenquen els enllaços, per la qual cosa per a estos materials l'energia superficial ($\gamma$) calculada en la teoria de Griffith és massa alta i poc realista.

En 1957, un grup baix la guia de George Rankine Irwin en el U.S. Naval Research Laboratory, durant la Segona Guerra Mundial, va descobrir que la plasticidad té un paper important en la fractura de materials dúctils.

En materials dúctils i inclús en materials que semblen fràgils, en l'extrem de tota fissura es desenrolla una zona de plastificació. Quan la càrrega aplicada aumenta, la zona plàstica creix en tamany fins que la fissura progressa descarregant-se el material a abdós costats de la fissura ya progressada. El cicle de càrrega i descàrrega prop de la fissura comporta un malbarat d'energia en forma de calor i plastificació. Això fa necessari afegir un terme disipativo al balanç d'energia propost per Griffith per a materials fràgils. En térmens físics, es pot dir que fer créixer una fissura o clavill en un material dúctil requerix més energia adicional que la requerida en els materials fràgils. L'esquema teòric de G. R. Irwin dividix l'energia en dos parts:

• l'energia elàstica almagasenada que es llibera en quant la fissura travessa la regió a on està almagasenada. Eixe procés termodinàmic de lliberació guia el procés de fractura.

• L'energia dispada que inclou el malbarat plàstic, l'energia superficial i atres formes de malbarat que puguen presentar-se. L'energia de malbarat comporta una resistència termodinàmica a la fractura. Llavors l'energia total dissipada és $G=2\gamma +G_p$ a on $\gamma$ és l'energia superficial i $G_p$ és l'energia de malbarat plàstic (o simplement malbarat, segons l'autor)per unitat d'àrea en el creiximent de la fissura.

La versió modificada del criteri d'energia de Griffith pot escriure's com:

${\sigma }_f\sqrt{a}=\sqrt{\frac{EG}{\pi }}.$

Per a materials fràgilés com el cristal o la ceràmica, el terme d'energia superficial és dominant i $G\approx 2\gamma =2$ J/m². Per a materials dúctilés com l'acer, el malbarat plàstic és el terme dominant i $G\approx G_p=1000$ J/m². Para polímeros propencs a la temperatura de transició vítrea, tenim valors intermijos de $G\approx 2-1000$ J/m².

Factor de concentració d'esforços

Un atre aporte significatiu d'Irwin i els seus companyers va ser trobar un método de càlcul de la cantitat d'energia disponible per a trencar en térmens de tensions asintòtiques i camps de desplaçament al voltant del front de fractura en el sòlit elàstic llineal. Esta expressió asintòtica per a un camp de tensions és:

${\sigma }_{ij}\approx \left(\frac{K}{\sqrt{2\pi r}}\right)f_{ij}(\theta )$

a on ${\sigma }_{ij}$ són les tensions de Cauchy, $r$ és la distància al vèrtiç de fractura, $\theta$ és l'àngul sobre el pla del clavill, i $f_{ij}$ són funcions que són depenents de la geometria del clavill i les condicions de càrrega. Irwin va cridar a la cantitat $K$ el factor de concentració de tensions, també cridat FIT. Les unitats en les que s'expressa este factor serien $\text{Pa-}\sqrt{\text{m}}$.

Taxa de lliberació d'energia de deformació

G. R. Irwin va ser el primer en notar que si el tamany de la zona plastificada al voltant d'una fissura o clavill era menuda comparada en el tamany de la pròpia fissura, l'energia requerida per a que la fissura creixca no és criticamente dependent de l'estat de tensions de l'extrem de la fissura. En atres paraules, una càlcul purament elàstica seria suficient per a calcular la cantitat d'energia disponible per fractura. El ritme o taxa de lliberació d'energia per al creiximent de la fissura pot ser calculat com la variació en la deformació elàstica per unitat d'àrea de la fissura, és dir,

a on $U$ és l'energia elàstica del sistema i $a$ és la llongitut de la fissura. Tant la càrrega $P$ com el desplaçament $u$ poden mantindre's constants en evaluar esta magnitut.

Irwin va demostrar que per al modo I de fractura la taxa de lliberació d'energia elàstica i el factor de concentració de tensions estan relacionats per mig de:

a on $E$ és el Mòdul de Young, $\nu$ és el Coeficient de Poisson, i $K_I$ és el factor d'intensitat de tensions en la fractura Modalitat I. Irwin també va mostrar que l'energia de deformació i la taxa de lliberació d'un clavill pla en un cos elàstic llineal es pot expressar en térmens de la fractura en modo I (obertura), modo II (cizallado) i modo III (esgarrat). A continuació, Irwin va adoptar el supòsit adicional de que el tamany i la forma de la zona de malbarat d'energia es manté aproximadament constant durant la fractura fràgil. Esta hipòtesis sugerix que l'energia necessària per a crear una unitat de superfície de fractura és una constant que només depén del material. A este valor se li crida resistència a la fractura i ara és acceptat universalment com una propietat del material en la definició mecànica de la fractura llineal elàstica.

Les llimitacions de la mecànica de fractura llineal elàstica

Fotografia del S.S. Schenectady destrossat per un trencament fràgil. L'estudi de la mecànica de la fractura ajuda a evitar estes situacions.

Pero va sorgir un problema per als investigadors de Laboratori Nacional de Referència ya que els materials navals, com per eixemple, la placa d'acer d'un buc, no són perfectament elàstiques, ya que sofrixen importants deformacions plàstiques en la punta d'un clavill. Un supòsit bàsic en la teoria d'Irwin de la mecànica de la fractura elàstica és que el tamany de la zona plàstica és menuda en comparació a la llongitut del clavill. No obstant, esta hipòtesis és prou restrictiva per a certs tipos de fractures en els acers estructurals, encara que estos acers poden ser propensos al trencament fràgil, lo que ha dut a una série de fallos catastròfics. La mecànica elàstic-llineal és d'us pràctic llimitat per a acers estructurals per una atra raó més pràctica. Les proves de resistència a la fractura són molt cares i els ingeniers creuen que l'informació suficient per a la selecció dels acers es poden obtindre de la més simple i barat per la prova de Charpy.^{cita requerida}.

Goo John McGuinness

Mecànica de la fractura elàstic-plàstica

La majoria dels materials usats en ingenieria mostren un comportament no llineal i inelástico en condicions de funcionament que impliquen grans càrregues. En dits materials, les suposicions que es fan en la mecànica de la fractura llineal elàstica poden no complir-se, és dir:

• La zona plàstica en un extrem de la fissura pot tindre un tamany del mateix orde de magnitut que el tamany de clavill.
• El tamany i la forma de la zona plàstica pot canviar a mida que la càrrega aplicada aumenta i també a mida que creix la llongitut del clavill.

Per lo tant es necessita utilisar una teoria més general de creiximent del clavill en materials en comportament elastoplástico que puga tindre en conte:

• Les condicions locals per al creiximent del clavill inicial, que inclouen la nucleación, creiximent i coalescencia de buits (decohesión) en un extrem del clavill.
• Un criteri global de balanç d'energia aplicable al continu creiximent del clavill i la fractura inestable.

Curva R

Un primer acostament en la direcció de la mecànica de fractura elasto-plàstica va ser l'explicació d'Irwin denominada curva de resistència d'extensió de la fissura o Curva R. Esta curva representa el fet de que la resistència a la fractura aumenta en el tamany de clavill en materials elasto-plàstic. La curva R és un gràfic de la taxa de malbarat d'energia total en funció del tamany del clavill i es pot utilisar per a examinar els processos de creiximent llents de clavills estables i fractura inestable. No obstant, la curva R no va anar àmpliament utilisat en aplicacions fins a la década de 1970. Les principals raons semblen ser que la curva R depén de la geometria de la mostra, i que la força aplicada de trencament pot ser difícil de calcular.

Integral J

A mitan de la década de 1960 J. R. Rulle (llavors en l'Universitat de Brown) i G.P. Cherepanov varen desenrollar de manera independent una nova mida de la durea per a descriure el cas en el que hi ha suficient deformació en la punta de la fractura de manera que la peça ya no obedix a l'aproximació llineal-elàstic. Es designa J integrala l'anàlisis de Rice que supon deformació no llineal elàstic (o deformació plàstica monòtona) per davant de la punta del clavill. Este anàlisis es llimita a situacions en les que la deformació plàstica en la punta del clavill no s'estén fins a la vora més alluntada de la part de càrrega. També exigix que el supost comportament no llineal d'elasticitat del material és una aproximació raonable en la forma i la magnitut de la resposta de càrrega del material real. El paràmetro de fallo elàstic-plàstic és designat J _Ic i que convencionalment es convertix en K _Ic per mig de l'equació (3.1) de l'Apèndix d'este artícul. També tinga en conte que l'enfocament integral J es reduïx a la teoria de Griffith per al comportament elàstic-llineal.