Moment angular relatiu específic

En mecànica celest, el moment angular relatiu específic $\overrightarrow{h}$ juga un paper fonamental en l'anàlisis del problema dels dos cossos. Es pot demostrar que és un vector constant per a una òrbita donada baix condicions ideals. Açò essencialment prova la segona llei de Kepler.

Es diu moment angular específic perque no és el moment angular real $\overrightarrow{L}$, pero el moment angular per massa. Per lo tant, la paraula "específic" en este terme és l'abreviatura de "massa específica" o dividida per la massa:

$\overrightarrow{h}=\frac{\overrightarrow{L}}{m}$

Per lo tant, l'unitat SI és: m²·s⁻¹. $m$ denota la massa reduïda $\frac{1}{m}=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}$.

Definició

El moment angular relatiu específic es definix com el producte creuat del vector de posició relativa $\overrightarrow{r}$ i el vector de velocitat relativa $\overrightarrow{v}$.

$\overrightarrow{h}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}=\frac{\overrightarrow{L}}{m}$

El vector $\overrightarrow{h}$ és sempre perpendicular al pla orbital d'osculación instantànea, que coincidix en l'òrbita pertorbada instantànea. No seria necessàriament perpendicular a un pla mig que explicara molts anys de destorbament.

Com és habitual en física, la magnitut de la cantitat vectorial $\overrightarrow{h}$ es denota per $h$:

$h=\Vert \overrightarrow{h}\Vert$

Prova de que el moment angular relatiu específic és constant en condicions ideals

Requisits previs

Lo següent solament és vàlit baix les simplificació també aplicades a la llei de la gravitació universal de Newton.

Un mira dos masses de punts $m_1$ i $m_2$, a la distància $r$ entre sí i en la força gravitacional $\overrightarrow{F}=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}\frac{\overrightarrow{r}}{r}$ actuant entre ells. Esta força actua instantàneament, a qualsevol distància i és l'única força present. El sistema de coordenades és inercial.

La simplificació adicional $m_1\gg m_2$ s'assumix a continuació. Per lo tant, $m_1$ és el cos central en l'orige del sistema de coordenades i $m_2$ és el satèlit que orbita al seu entorn. Ara la massa reduïda també és igual a $m_2$i l'equació del problema de dos cossos és

$\ddot{\overrightarrow{r}}=-\frac{\mu }{r^2}\frac{\overrightarrow{r}}{r}$

en el paràmetro gravitatorio estàndart $\mu =G{m}_1$ i el vector de distància $\overrightarrow{r}$ que apunta des de l'orige (cos central) al satèlit, per la seua massa despreciable.

És important no confondre el paràmetro gravitatorio $\mu$ en la massa reduïda, que a voltes també es denota en la mateixa lletra $\mu$.

Prova

Erro al crear miniatura:

Vector de distància $\overrightarrow{r}$, vector de velocitat $\overrightarrow{v}$, anomalia verdadera $\theta$ i àngul de trayectòria de vol $\varphi$de $m_2$en òrbita al voltant de $m_1$. També es representen les mides més importants de l'elipse (entre les quals, tinga en conte que l'anomalia verdadera $\theta$ està etiquetada com $\nu$).

S'obté el moment angular relatiu específic multiplicant (producte creuat) l'equació del problema de dos cossos en el vector de distància $\overrightarrow{r}$

$\overrightarrow{r}\times \ddot{\overrightarrow{r}}=-\overrightarrow{r}\times \frac{\mu }{r^2}\frac{\overrightarrow{r}}{r}$

El producte creuat d'un vector conseguixc mateix (costat dret) és 0. El costat esquerre simplifica

$\overrightarrow{r}\times \ddot{\overrightarrow{r}}=\dot{\overrightarrow{r}}\times \dot{\overrightarrow{r}}+\overrightarrow{r}\times \ddot{\overrightarrow{r}}=\frac{\mathrm{d}(\overrightarrow{r}\times \dot{\overrightarrow{r}})}{\mathrm{d}t}=0$

d'acort en la regla de diferenciació del producte.

Açò significa que $\overrightarrow{r}\times \dot{\overrightarrow{r}}$ és constant (cantitat conservada). I est és exactament el moment angular per massa del satèlit

$\overrightarrow{h}=\overrightarrow{r}\times \dot{\overrightarrow{r}}=const.$

Este vector és perpendicular al pla de l'òrbita, l'òrbita permaneix en este pla perque el moment angular és constant.

Es pot obtindre una major comprensió del problema dels dos cossos en les definicions del àngul de trayectòria de vol $\varphi$ i la component travessera i radial del vector de velocitat (vore ilustració la dreta). Les següents tres fòrmules són totes possibilitats equivalents per a calcular el valor absolut del vector de moment angular relatiu específic

• $h=rv\cos \varphi$
• $h=r^2\dot{\theta }$
• $h=\sqrt{\mu p}$

A on $p$ es diu semi-estage lateral de la curva.