Número intocable

Plantilla:No resolt Un número intocable és un sancer que no pot ser expressat com la suma de tots els divisores propis de qualsevol sancer positiu (incloent el mateix número intocable). És dir que estos números no es troben en l'image de la funció suma alícuota. El seu estudi es remonta cap a a lo manco Abu Mansur al-Baghdadi (circa 1000 A. D.), el qual va observar que el 2 i el 5 eren intocables.

Eixemples

Per eixemple, el número 4 no és intocable ya que és igual a la suma dels divisores propis de 9: 1 + 3 = 4. El número 5 és intocable ya que no és la suma dels divisores propis de cap sancer positiu: 5 = 1 + 4 és l'única forma d'escriure 5 com la suma de distints sancers positius incloent 1, pero si el 4 dividix un número, el 2 també ho fa, llavors 1 + 4 no pot ser la suma de tots els divisores propis de cap número (ya que la llista de factors deuria incloure tant 4 com 2)

Els primers números intocables són:

$2,5,52,88,96,120,124,146,162,188,206,210,216,238,246,248,262,268,276,288,290,292,304,306,322,324,326,336,342,372,406,408,426,430,448,472,474,498,\mathrm{...}$ Plantilla:OEIS

Propietats

Es creu que el número 5 és l'únic número intocable impar, pero açò no ha segut provat: resultaria en una versió llaugerament més forta de la conjectura de Goldbach, ya que la suma dels divisores propis de pq (en p i q sent cosins distints) és 1 + p + q. Aixina, si un número n pot ser escrit com la suma de dos cosins distints, llavors n + 1 no és un número intocable. S'espera que cada número par major a 6 siga la suma de dos cosins distints, aixina que provablement cap número impar major a 7 siga un número intocable, i $1=\sigma (2)-2$, $3=\sigma (4)-4$, $7=\sigma (8)-8$, aixina que solament 5 pot ser un número intocable impar. D'esta forma sembla que, a excepció de 2 i 5, tots els números intocables són número compuesto (ya que a excepció de 2, tots els número par són composts). Cap número perfecte és intocable ya que, per lo manco, pot ser expressat com la suma del seu corresponent divisor propi (esta situació passa en el cas del 28). Similarment, cap dels números amics ni números sociables són intocables. També, cap dels números de Mersenne són intocables, ya que M_n=2ⁿ-1 pot ser expressat com la suma dels divisores propis de 2ⁿ.

Cap número intocable és un més que un número primo ya que si p és primer, llavors la suma dels divisores propis de p² és p + 1. Ademés, cap número intocable és tres més que un número primo, a excepció de 5, ya que si p és un cosí impar, la suma dels divisores propis de 2p és p + 3.

Vore també

• Successió alícuota

Referències

• Guy (2004). Unsolved Problems in Number Theory, tercera edició (en anglés), Springer Verlag. ISBN 0-387-20860-7.