Número quadrat triangular

Per a un número triangular al quadrat vore quadrats de números triangulars.

El número quadrat triangular 36, representat com a número triangular i com a número quadrat.

En matemàtiques, un número quadrat triangular (o número triangular quadrat) és un número que és tant un número triangular com un quadrat perfecte.

Hi ha infinits números triangulars quadrats; els primers són:

0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, Plantilla:OEIS.

Fòrmules explícites

Escrivint N_k per al k-ésimo número quadrat triangular, i s_k i t_k per als costats dels corresponents quadrat i triàngul, es té que:

N_{k} = s_{k}^{2} = \frac{t_{k} (t_{k} + 1)}{2} .

Es definix la raïl triangular d'un número triangular $N = \frac{n (n + 1)}{2}$ per a que siga $n$ . D'esta definició i de la fòrmula quadràtica, es té que $n = \frac{\sqrt{8 N + 1} - 1}{2} .$ Per lo tant, $N$ és triangular si i solament si $8 N + 1$ és un quadrat.

En conseqüència, un número $M^{2}$ és quadrat i triangular si i solament si $8 M^{2} + 1$ és quadrat. Per eixemple, hi ha números $x$ i $y$ tals que $x^{2} - 8 y^{2} = 1$ . Açò és una conseqüència de l'equació de Pell, en $n = 8$ . Totes les equacions de Pell tenen la solució trivial (1,0), per a qualsevol n; esta solució es diu zero-ésima, i és indexada com $(x_{0}, y_{0})$ . Si $(x_{k}, y_{k})$ denota la k-ésima solució no trivial a qualsevol equació de Pell per a un n particular, pot ser demostrat pel método de descens que $x_{k + 1} = 2 x_{k} x_{1} - x_{k - 1}$ i $y_{k + 1} = 2 y_{k} x_{1} - y_{k - 1}$ .

Per lo tant, existix una infinitat de solucions a qualsevol equació de Pell per a la que hi ha una no trivial, quan n no és un quadrat. La primera solució no trivial quan n = 8 és fàcil de trobar: és (3,1). Una solució $(x_{k}, y_{k})$ a l'equació de Pell per a n = 8 produïx un número triangular quadrat i les seues raïls quadrades i triangulars com seguix:

s_{k} = y_{k}, t_{k} = \frac{x_{k} - 1}{2},

i

N_{k} = y_{k}^{2} .

Per lo tant, el primer número triangular quadrat, derivat de (3,1), és 1, i el següent, derivat de (17,6) (= 6 × (3,1) - (1,0)), és 36.

Les seqüències N_k, s_k i t_k són les seqüències OEIS Plantilla:OEIS2C, Plantilla:OEIS2C i Plantilla:OEIS2C respectivament.

En 1778 Leonhard Euler va determinar la fòrmula explícita:^[1]^[2]^{<span title="Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «DecodeEncode».">: Plantilla:R/where}

N_{k} = {(\frac{(3 + 2 \sqrt{2})^{k} - (3 - 2 \sqrt{2})^{k}}{4 \sqrt{2}})}^{2}

Atres fòrmules equivalents (obtingudes per mig de l'ampliació d'esta fòrmula) que poden ser convenients inclouen:

\begin{matrix} N_{k} & = \frac{1}{32} {((1 + \sqrt{2})^{2 k} - (1 - \sqrt{2})^{2 k})}^{2} = \frac{1}{32} ((1 + \sqrt{2})^{4 k} - 2 + (1 - \sqrt{2})^{4 k}) \\ = \frac{1}{32} ((17 + 12 \sqrt{2})^{k} - 2 + (17 - 12 \sqrt{2})^{k}) . \end{matrix}

Les fòrmules explícites corresponents a s_k i t_k són^{<span title="Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «DecodeEncode».">: Plantilla:R/where}

s_{k} = \frac{(3 + 2 \sqrt{2})^{k} - (3 - 2 \sqrt{2})^{k}}{4 \sqrt{2}}

i

t_{k} = \frac{(3 + 2 \sqrt{2})^{k} + (3 - 2 \sqrt{2})^{k} - 2}{4}

Equació de Pell

El problema de trobar números quadrats triangulars es reduïx a l'equació de Pell de la següent manera.^[3]

Cada número triangular és de la forma t (t + 1) / 2. Per lo tant, es busquen sancers t, s tals que:

\frac{t (t + 1)}{2} = s^{2}

En una miqueta d'àlgebra açò es convertix en:

(2 t + 1)^{2} = 8 s^{2} + 1

i deixant que x = 2t + 1 i i = 2 s, s'obté l'equació diofántica

x^{2} - 2 y^{2} = 1

que és una forma de l'Equació de Pell. Esta equació particular és resolta pels números de Pell P_k com^[4]

x = P_{2 k} + P_{2 k - 1}, y = P_{2 k}

i per lo tant totes les solucions estan donades per:

s_{k} = \frac{P_{2 k}}{2}, t_{k} = \frac{P_{2 k} + P_{2 k - 1} - 1}{2}, N_{k} = {(\frac{P_{2 k}}{2})}^{2}

Hi ha moltes identitats sobre els números de Pell que es traduïxen en identitats sobre els números quadrats triangulars.

Vore també

Problema de les bales de canó en números que són simultàneament quadrats i quadrats piramidals.
Sexta potència, números que són simultàneament quadrats i cúbics

Referències

↑ (1999) History of the Theory of Numbers, Providence: American Mathematical Society, p. 16. ISBN 978-0-8218-1935-7.
↑ Euler, Leonhard (1813). “Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (An easy rule for Diophantine problems which llaure to be resolgau quickly by integral numbers)” (Latin). Memoires de l'academie dones sciences de St.-Petersbourg 4: 3–17. Recuperate le 11 de maig de 2009. “According to the records, it was presented to the St. Petersburg Academy on May 4, 1778.”
↑ (2003) Pell's Equation, New York: Springer, pp. 16–17. ISBN 978-0-387-95529-2.
↑ (1979) An Introduction to the Theory of Numbers, 5th edició, Oxford University Press, p. 210. ISBN 0-19-853171-0. «Theorem 244»

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Número cuadrado triangular» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[Dickson-1] (1999) History of the Theory of Numbers, Providence: American Mathematical Society, p. 16. ISBN 978-0-8218-1935-7.

[Euler-2] Euler, Leonhard (1813). “Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (An easy rule for Diophantine problems which llaure to be resolgau quickly by integral numbers)” (Latin). Memoires de l'academie dones sciences de St.-Petersbourg 4: 3–17. Recuperate le 11 de maig de 2009. “According to the records, it was presented to the St. Petersburg Academy on May 4, 1778.”

[3] (2003) Pell's Equation, New York: Springer, pp. 16–17. ISBN 978-0-387-95529-2.

[4] (1979) An Introduction to the Theory of Numbers, 5th edició, Oxford University Press, p. 210. ISBN 0-19-853171-0. «Theorem 244»

[1]

[2]

Plantilla:R/where

[3]

[4]