Número de Pell

Archiu:PellNumbers.png

Obtenció gràfica de la successió de números de Pell: partint d'un rectàngul format per dos quadrats de 1x1, en cada nou pas es van adossant dos quadrats iguals, el costat dels quals coincidix en el costat més llarc del rectàngul resultant del pas anterior. En l'image, figura la construcció dels 4 primers números de Pell: 1, 2, 5 i 12.

En matemàtiques, els números de Pell, denominats aixina en honor del matemàtic anglés John Pell (1611-1685), són una successió infinita de número entero, coneguda des de temps antics, que comprén els denominadors de la fracció contínua de la raïl quadrada de dos. Esta seqüència d'aproximacions comença en:

Plantilla:Sfrac, Plantilla:Sfrac, Plantilla:Sfrac, Plantilla:Sfrac i Plantilla:Sfrac

Els denominadors de la seqüència formen la successió de números de Pell, que comença en:

1, 2, 5, 12 i 29

Els numeradors de la mateixa seqüència d'aproximacions són les mitats dels números companyers de Pell o números de Pell-Lucas; de manera que estos números (multiplicats per 2) formen una segona seqüència infinita que comença en:

2, 6, 14, 34 i 82

Tant els números de Pell com els números companyers de Pell es poden calcular per mig d'una relació de recurrencia similar a la de la successió de Fibonacci, i abdós seqüències de números creixen exponencialment, proporcionalment a les potències del número plateado 1 + $\sqrt{2}$. Ademés de ser usat per a aproximar la raïl quadrada de dos, els números de Pell poden usar-se per a trobar números quadrats triangulars, per a construir aproximacions d'número entero al triàngul rectàngul isósceles i per a resoldre certs problemes d'enumeració combinatòria.

De la mateixa manera que en l'equació de Pell, el nom dels números de Pell es deriva de l'atribució errònea realisada per Leonhard Euler de l'equació i dels números derivats de la mateixa al matemàtic britànic John Pell (1611-1685). Els números de Pell-Lucas deuen el seu nom al matemàtic francés Édouard Lucas (1842-1891), que va estudiar les seqüències definides per recurrencias d'este tipo; els números de Pell i els seus números associats són successions de Lucas.

Números de Pell

Archiu:Silver spiral approximation.png

Els costats dels quadrats utilisats per a construir una espiral d'argent són els números de Pell

Els números de Pell estan definits per la relació de recurrencia:

$P_n=\{\begin{array}{cc}0& \text{si }n=0;\\ 1& \text{si }n=1;\\ 2P_{n-1}+P_{n-2}& \text{otros casos.}\end{array}$

En paraules, la seqüència de números de Pell comença en 0 i 1, i després cada número de Pell s'obté dels dos anteriors: és la suma de dos voltes el número de Pell anterior i del número de Pell previ a est. Els primers térmens de la seqüència són:

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, ... Plantilla:OEIS

També poden expressar-se per mig d'una fòrmula explícita:

$P_n=\frac{{(1+\sqrt{2})}^n-{(1-\sqrt{2})}^n}{2\sqrt{2}}$

Per a valors grans de n, el terme (1 + $\sqrt{2}$)ⁿ domina esta expressió, per lo que els números de Pell són aproximadament proporcionals a les potències del número plateado 1 + $\sqrt{2}$, anàlec a la taxa de creiximent dels números de Fibonacci com a potències del número áureo.

Una tercera definició és possible, a partir de la fòrmula matricial:

$\left(\begin{array}{cc}{P}_{n+1}& P_n\\ P_n& P_{n-1}\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right)}^n$

Moltes identitats poden derivar-se o provar-se a partir d'estes definicions; per eixemple, una identitat anàloga a l'identitat de Cassini per als números de Fibonacci:

$P_{n+1}{P}_{n-1}-P_n^2=(-1{)}^n$

És una conseqüència immediata de la fòrmula matricial (que es troba considerant els determinants de les matrius en els costats esquerre i dret de la fòrmula de la matriu).

Aproximació a la raïl quadrada de dos

Archiu:Pell octagons.svg

Aproximacions racionals a octógonos regulars, en coordenades derivades dels números de Pell.

Els números de Pell sorgixen històricament i més concretament a partir de l'aproximació racional a la [[raïl quadrada de dos|Plantilla:Sqrt]]. Si dos sancers grans x i i formen una solució a l'Equació de Pell:

$x^2-2y^2=\pm 1$

llavors la seua fracció "Plantilla:Sfrac" proporciona una aproximació propenca a $\sqrt{2}$. La seqüència d'aproximacions d'esta forma és:

$\frac{1}{1},\frac{3}{2},\frac{7}{5},\frac{17}{12},\frac{41}{29},\frac{99}{70},\dots$

a on el denominador de cada fracció és un número de Pell i el numerador és la suma d'un número de Pell i el seu predecessor en la seqüència. És dir, les solucions tenen la forma:

$\frac{P_{n-1}+P_n}{P_n}$

L'aproximació:

$\sqrt{2}\approx \frac{577}{408}$

d'este tipo era coneguda pels matemàtics indis en el sigle tercer o quarto a. C. Els matemàtics grecs de el V també coneixien esta seqüència d'aproximacions: Platón es referix als numeradors com a diàmetros racionals. En el II, Teón de Esmirna va usar el terme números de costat i de diàmetro per a descriure els denominadors i numeradors d'esta seqüència.

Estes aproximacions poden derivar-se de l'expansió en forma de fracció contínua de $\sqrt{2}$:

$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ddots }}}}}.$

Truncar esta expansió a qualsevol número de térmens produïx una de les aproximacions basades en el número de Pell en esta seqüència; per eixemple:

$\frac{577}{408}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}}}}}.$

Com Knuth (1994) descriu, el fet de que els números de Pell aproximen $\sqrt{2}$ els permet ser usats per a aproximacions racionals precises a un octógono regular en coordenades de vèrtiços:

$(\pm P_i,\pm P_{i+1})$ i $(\pm P_{i+1},\pm P_i)$

Tots els vèrtiços estan igualment distants de l'orige, i formen ànguls casi uniformes al voltant del mateix. Alternativament, els punts

$(\pm (P_i+P_{i-1}),0)$, $(0,\pm (P_i+P_{i-1}))$ i $(\pm P_i,\pm P_i)$

formen octógonos aproximats en els que els vèrtiços estan casi igualment alluntats de l'orige i formen ànguls uniformes.