Norma del suprem

En anàlisis matemàtic, la norma del suprem (o també coneguda com la norma uniforme) assigna a funcions acotades de valors complexos $f:S\to ℂ$ número no negatiu

$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}:=\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty },S}:=\sup \{|f(x)|,x\in S\}$

(d'una forma anàloga podem definir la norma del suprem per a funcions a valors reals $f:S\to ℝ$ ).

Esta norma és també cridada com la norma de Chebyshev, la norma infinit, la norma sup, o també, quan el suprem és de fet un màxim, en tal cas passa a cridar-se la norma del màxim. Un dels seus tants noms, la "norma uniforme" prové del fet de que la successió $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ convergix a $f$ baixe la norma uniforme si i solament si $f_n$ convergix a $f$ uniformemente.

El matemàtic Pafnuty Chebyshev va ser el primer en estudiar esta norma de manera sistemàtica (d'ahí el nom de "norma de Chebyshev").

Definició

Siga $S$ un conjunt qualsevol, definim el conjunt de les funcions acotades en $S$, és dir

$C(S):=\{f:S\to ℂ,\text{ existe }M\ge 0\text{ tal que }|f(x)|\le M\mathrm{\forall }x\in S\}$,

en atres ocasions este conjunt sol escriure's com $C_b(S)$ (la lletra $b$ ve per la paraula bounded en anglés que significa acotada), o també en atres casos ${\ell }^{\mathrm{\infty }}(S)$ o també ${\ell }_b^{\mathrm{\infty }}(S)$ (s'usa este terme en casos que la topología de $S$ tinga una forma específica). No és difícil vore que per mig de les operacions puntuals el conjunt $C(S)$ es transforma en un espai vectorial.

Si definim la funció $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}:C(S)\to [0,+\mathrm{\infty })$ de la forma

$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}:=\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty },S}:=\sup \{|f(x)|,x\in S\}$

tenim que el parell $(C(S),\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }})$ es transforma en un espai vectorial normado, és dir, $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ és una norma. Finalment a esta funció la cridem com la norma del suprem.

Norma del suprem per a funcions no acotades

Observe que si la condició de ser acotada és retirada, llavors pot existir $\phi \in C(S)$ tal que $\Vert \phi {\Vert }_{\mathrm{\infty }}=+\mathrm{\infty }$ . Per lo tant en este cas la funció $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ deixa de ser una norma, no obstant és possible definir una topología de totes formes en l'espai $C(S)$ i

$\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ pansa a ser una mètrica estesa.

No és difícil trobar eixemples en que $\Vert \phi {\Vert }_{\mathrm{\infty }}=+\mathrm{\infty }$. Si considerem $S:=(0,1)$ llavors definint la funció $\phi :S\to ℂ$ donada per

$\phi (x):=\frac{1}{x}$, per a tot $x\in S=(0,1)$

satisfà lo que necessitem.

Eixemples

El perímetro del quadrat és el conjunt de punts en ${ℝ}^2$ tal que la norma del suprem és igual a una constant positiva. Per eixemple, els punts $(2,0)$, $(2,1)$ i $(2,2)$ es troben en el perímetro d'un quadrat i pertanyen al conjunt de vectores la norma del qual del suprem és igual a $2$.

Cas Real i Complex

Si considerem al conjunt $S$ com un conjunt finito, per eixemple si $S:=\{1,2,\dots ,n\}$ , llavors no és difícil notar que $C(S)={ℂ}^n$ (d'una manera anàloga podem construir ${ℝ}^n$) i en este cas podem notar que la norma del suprem pren la forma de la famosa norma del màxim en ${ℂ}^n$ (o análogamente en ${ℝ}^n$), açò és

$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}:=\max (\left|x_1\right|,\dots ,\left|x_n\right|)=\Vert x{\Vert }_{\text{max}}$.

Vore també

• Continuïtat uniforme
• Espai Uniforme
• Distancia de Chebyshev
• Álegbra de Banach
• C*-àlgebra