Operador integral

En matemàtiques, un operador integral (també operador núcleu o operador kernel) és un operador llineal definit usant una integral paramètrica en alguns espais funcionals. L'image d'una funció generada per tal operador és per lo tant una atra funció, que el seu domini pot ser molt diferent.

Dits operadors constituïxen objectes fonamentals en l'anàlisis funcional, a on permeten en particular transformar una equació per a obtindre una expressió a priori més fàcil de resoldre. Els primers eixemples són la convolución i les transformades de Fourier o de Laplace, d'ahí el nom també amprat en ocasions de transformació integral.

Definició

La forma general d'un operador integral ve donada per la següent expressió:

$S(f)(t)=\underset{A}{\int }f(x)K(x,t)\mathrm{d}\mu (x)$

en la que la funció K es denomina el núcleu de l'operador.

En molts eixemples comuns, el domini d'integració A és un interval real i la mida associada és la mida de Lebesgue.

Formes de núcleu especials

• Es diu que un núcleu K és separable o degenerado si es pot escriure en la forma $K(x,t)=\sum _{i=1}^p{a}_i(x)b_i(t)$ en funcions $(a_i)$ independents.
• Es diu que un núcleu de valor complex K és simètric o hermítico si verifica que

  $\mathrm{\forall }x,t,K(x,t)=\overline{K(t,x)}.$

• Un núcleu o kernel K es diu núcleu de Convolución si té la forma

$K(x,t)=k(x-t).$

• Es diu que un núcleu K és regular si satisfà que

$\iint K(x,t)\mathrm{d}x\mathrm{d}t<+\mathrm{\infty }.$

• Si un núcleu K té la forma, per a una funció h acotada,$K(x,t)=\frac{h(x,t)}{|x-t{|}^m},m\in ]0,1[,$, llavors es diu que l'equació integral és débilmente singular. Per a h constant, es genera l'equació integral d'Abel.
• Un núcleu K es denomina núcleu de Cauchy si té la forma $K(x,t)=\frac{h(x,t)}{x-t}$, que apareix en la definició de valor principal de Cauchy.

Aplicacions

Els operadors integrals estan involucrats en els fenomens de difusió a on clásicamente es presenten equacions integrals. L'existència i l'unicitat de les solucions troben solució en l'alternativa de Fredholm quan esta última és aplicable, és dir quan l'operador és compacte.

En un gran número de casos en la pràctica, ya existix un estudi complet de l'anàlisis espectral de l'operador.

Ocorre que tal operador admet un invers multiplicativo que també és un operador integral. El núcleu d'este últim es denomina núcleu invers.

Vore també

• Núcleu de Szegő
• Operador diferencial