Plasticitat (mecànica de sòlits)

Archiu:Quai de la Seine (Paris), baudruche.jpg

Plasticidad (mecànica de sòlits)

La plasticidad és un comportament mecànic característic de certs materials anelásticos consistent en la capacitat de deformar-se permanent i irreversiblemente quan es troba somés a tensions per damunt del seu ranc elàstic, és dir, per damunt del seu llímit elàstic.

En els metals, la plasticidad s'explica en térmens de desplaçaments irreversibles de recalcada.

Introducció

Archiu:Stress-strain1-es.svg

Eixemple típic de curva tensió-deformació per a un esforç uniaxial de tracció, en un metal dúctil en comportament elasto-plàstic: el comportament és elàstic llineal per a menudes deformacions (tram recte de color blau) i presenta plasticidad a partir de cert llímit.

En els materials elàstics, en particular en molts metals dúctils, un esforç uniaxial de tracció menut du aparellat un comportament elàstic. Això significa que menuts increments en la tensió de tracció comporta menuts increments en la deformació, si la càrrega es torna zero de nou el cos recupera exactament la seua forma original, és dir, es té una deformació completament reversible. No obstant, s'ha comprovat experimentalment que existix un llímit, cridat llímit elàstic, tal que si certa funció homogénea de les tensions supera dit llímit llavors en desaparéixer la càrrega queden deformacions remanentes i el cos no torna exactament a la seua forma. És dir, apareixen deformacions no reversibles.

Este tipo de comportament elasto-plàstic descrit més dalt és el que es troba en la majoria de metals coneguts, i també en molts uns atres materials. El comportament perfectament plàstic és alguna cosa menys freqüent, i implica l'aparició de deformacions irreversibles per menuda que siga la tensió, l'argila de modelar i la plastilina s'aproximen molt a un comportament perfectament plàstic. Atres materials ademés presenten plasticidad en enduriment i necessiten esforços progressivament més grans per a aumentar la seua deformació plàstica total. I inclús els comportaments anteriors poden anar acompanyats d'efectes viscosos, que fan que les tensions siguen majors en casos de velocitats de deformació altes, dit comportament es coneix en el nom de visco-plasticidad.

La plasticidad dels materials està relacionada en canvis irreversibles en eixos materials. A diferència del comportament elàstic que és termodinámicamente reversible, un cos que es deforma plásticamente experimenta canvis d'entropía, com a desplaçaments de les recalcada. En el comportament plàstic part de l'energia mecànica es dissipa internament, en lloc de transformar-se en energia potencial elàstica.

Microscópicamente, en l'escala de la ret cristalina dels metals, la plasticidad és una conseqüència de l'existència de certes imperfeccions en la ret anomenades recalcada. En 1934, Egon Orowan, Michael Polanyi i Geoffrey Ingram Taylor, més o menys simultàneament varen aplegar a la conclusió de que la deformació plàstica de materials dúctils podia ser explicada en térmens de la teoria de recalcada. Per a descriure la plasticidad usualment s'usa un conjunt d'equacions diferencials no llineals i dependents del temps que descriuen els canvis en les components del tensor deformació i el tensor tensió sobre l'estat de deformació-tensió previ i l'increment de deformació en cada instant.

Història de la plasticidad

La base de la moderna teoria de la plasticidad va ser assentada en el XIX en els treballs de Tresca, Saint-Venant, Lévy i Bauschinger. A principis de el XX es varen fer alguns alvanços en la comprensió del fenomen per part de Prandtl, Von Mises i A. Reuss. En esta primera fase es va introduir el concepte de deformació irreversible, criteris de fallo, enduriment i plasticidad perfecta, ademés de la forma incremental de les equacions constitutives de la deformació plàstica.

Just despuix de la Segona Guerra Mundial varen aparéixer els treballs de Prager, Drucker i Hill en els que es va conseguir una major claritat de la formulació i es va establir la convexidad de les superfícies de fluencia. Poc despuix, a partir de 1960, es varen produir certs alvanços matemàtics en la teoria d'equacions en derivades parcials i les desigualtats variacionales que resultarien ser particularment profitosos per a la teoria de la plasticidad. Eixos alvanços varen provar que el marc natural per a resoldre els problemes de valor inicial en sòlits elastoplásticos eren les desigualtats variacionales. La confluència de certs alvanços en el terreny de la mecànica de sòlits i les matemàtiques varen donar lloc a nous desenrolls teòrics, dels quals són un eixemple els artículs de Moreau, les monografies de Duvaut i J.L. Lions i Temam.

Models de plasticidad

En general un model de plasticidad requerix definir varis elements:

• En primer lloc, en l'espai de tensions principals es requerix definir l'anomenada regió de tensions admissibles, que serà un conjunt tancat (i possiblement compacte) de dit espai de tensions. La frontera de dit conjunt usualment es denomina superfície de fluencia.
• Per a punts del sòlit les tensions principals del qual estiguen contingudes en l'interior de la regió de tensions admissibles el comportament és elàstic. No obstant, per a punts de la superfície de fluencia és necessari definir una "regla de fluix" que explicita cóm aumentaran la deformació plàstica en funció de la taxa d'aument de la tensió i atres paràmetros interns si s'aumenta la solicitación sobre un material que ha alcançat el seu llímit de fluencia.
• Els models de plasticidad imperfecta requeriran la definició d'un conjunt de variables internes que donen conte de l'enduriment i del desplaçament de la regió de tensions admissibles a lo llarc del temps en funció de les taxes d'aument de les atres variables.

L'existència de variables internes ---com el grau de plastificació (deformació plàstica), l'enduriment i unes atres--- fa que la relació entre tensions i deformacions siga més complexa que en el cas elàstic, en particular, donat un nivell de deformació elàstica les tensions no poden conéixer-se a menos que es conega cóm han variat les variables internes. El fet de tindre en conte cóm varien les variables internes fa que un problema elastoplástico en general només puga ser unívocamente resolt com a problema dinàmic resolent simultàneament les equacions del següent sistema:

a on la primera relació expressa l'equació constitutiva entre la tensió mecànica ($𝝈$), la deformació ($𝜺$), les variables internes ($𝝃$), per a cada punt del sòlit. La segona relació és l'equació en derivades parcials que arreplega l'equilibri de forces entre les tensions internes i les forces aplicades ($𝐟$) i l'última és l'equació diferencial ordinària que dona la regla de fluix que expressa cóm aumenten les variables internes (en particular la deformació plàstica) en el temps una volta el material alcança un estat de tensions a on apareix fluencia.

Descomposició de la deformació

La descripció d'un material plàstic requerix tant de variables que descriguen la deformació total, com a variables internes ${\xi }_k$ que descriguen els canvis irreversibles que tenen lloc en l'interior del material. Estes variables intervenen ademés en les relacions de malbarat del material. Les consideracions termodinàmiques duen a que l'energia lliure de Gibbs g [per unitat de volum] estiga relacionada en l'energia lliure de Helmholtz f, les tensions i les deformacions per mig de la relació:

A on:

$g,f$ energia lliure de Gibbs i energia lliure de Helmhotz per unitat de volum,

${\sigma }_{ij}$ són les components del tensor de tensions,

${\epsilon }_{ij}$ són les components del tensor deformació i

${\xi }_k$ són un conjunt de variables internes relacionades en els canvis irreversibles en el material

La relació anterior implica:

Experimentalment es coneix que el tensor de complianza $𝐀$ no sembla vore's afectat pels processos irreversibles de deformació plàstica, lo que a la seua volta implicarà:

I en eixe cas existix una descomposició aditiva de la deformació, en deformació elàstica i deformació plàstica, perque baixe l'hipòtesis d'independència de $𝐀$ de la deformació plàstica, (*) pot ser integrada en la forma:

Per una atra part la llei de fluix està llimitada per una desigualtat associada al malbarat plàstic de l'energia. Esta desigualtat es deriva de la segona llei de la termodinàmica en la forma de Clausius-Duhem:

A on:

$f,s$ són l'energia lliure de Helmholtz i l'entropía per unitat de volum.

$T,𝐪$ són la temperatura i el fluix de calor a través de la superfície.

Equacions constitutives de plasticidad

La llei de Hooke usada per a materials elàstics reversibles i llineals és una equació constitutiva en que les tensions es descriuen com el producte de components tensoriales del tensor de constants elàstiques per les components del tensor deformació. En dita llei les tensions són combinacions llineals de les deformacions, i no existix malbarat d'energia i per tant irreversibilitat. Per eixes raons no poden descriure la plasticidad. De fet, la descripció matemàtica de la plasticidad deu incloure tant l'irreversibilitat o malbarat d'energia com la no linealidad de les expressions que relacionen tensions i deformacions. Existix un bon número de models matemàtics de plasticidad en estes característiques. En tots els models de plasticidad la relació entre tensions i deformacions és del tipo:

A on en l'equació anterior i en les següents s'usa el conveni de sumación d'Einstein sobre índexs repetits, i a on ademés:

$C_{ijkl}$, són les components del tensor de constants elàstiques del material.

${\epsilon }_{ij}$, són les components del tensor deformació.

${\epsilon }_{ij}^p$, són les components de la deformació plàstica.

La diferència bàsica entre els diversos models de plasticidad és la superfície de fluencia i per tant la manera en que es computen les deformacions plàstiques, ademés de les possibles variacions en la component viscoplástica. De fet, un model de plasticidad ademés de l'equació (1) necessita especificar dos relacions més:

• Especificació de la superfície de fluencia, que relaciona la tensió de fluencia ${\sigma }_y$ en l'estat de tensió i de deformació plàstica:

• La llei de fluix plàstic:

A on

${\dot{\epsilon }}_{ij}^p$, representen la velocitat de deformació plàstica.

${\dot{\sigma }}_y$, la derivada respecte al temps de la tensió de fluencia.

$f_{ij}(\cdot )$, un conjunt de funcions prescrites depenents del model que expliciten com creixen les deformacions plàstiques.

Si es deriven les equacions (1) i (2) respecte al temps i s'afig l'equació (3) es té un sistema de tres equacions diferencials ordinàries respecte al temps, que junt en les corresponents equacions de contorn descrivint les càrregues, els valors inicials i atres restriccions formen un problema elastoplástico la solució del qual és única en el cas llineal. En el cas no llineal no considerat ací no s'ha demostrat l'unicitat.

Model de plasticidad J₂

Est és un model elasto-plàstic isótropo sense vicosidad ni enduriment i és un dels models elasto-plàstics més senzills. La tensió en cada instant ve donada per una tensió purament elàstica independent de la velocitat de deformació:

A on la superfície de fluencia i la zona plàstica vénen donades pel segon invariante o invariante quadràtic del tensor desviador.

En les equacions anteriors i en lo que se seguix s'ampra el conveni de sumación d'Einstein respecte als índexs repetits. Les equacions bàsiques adicionals de l'evolució temporal del llímit de fluencia i la deformació elàstica són:

La funció $⟨\cdot ⟩$ és la funció rampa. Esta última expressió indica que el tensor de deformació plàstica és proporcional al tensor de tensions desviador.

Model elastoplástico hidrodinàmic

Este model atribuïx un comportament elàstic al material per baix de llímit de fluencia i atribuïx auments de la deformació plàstica per damunt d'ell. La velocitat de deformació no juga cap paper dins d'ell. Les relacions entre tensió i deformació són de la forma:

A on les ${\omega }_{kj}$ s'usen per a calcular la taxa objectiva de canvi de Jaumann i a on la superfície de fluencia i la zona a on es produïxen deformacions plàstica és la mateixa que en el model de plasticidad J₂, la qual cosa significarà que existirà aument de la deformació plàstica sempre i quan:

Les equacions adicionals de l'evolució temporal del llímit de fluencia i la deformació plàstica són:

A on l'instant inicial s'ha pres ans que apareguera plastificació.

Model visco-elastoplástico de Krieg-Key

Este model és un model elasto-plàstic en enduriment cinemàtic, una volta passat el punt de fluencia del material. La relació entre tensions i deformacions ve donada per una contribució elàstica més una contribució plàstica. En el cas isotrópico la superfície de fluencia es pren com el lloc geomètric:

A on:

${\sigma }_y$ rep el nom de tensió de fluencia.

${\sigma }_0$, és un paràmetro que definix la superfície de fluencia, quan les tensions cauen fòra de la superfície de fluencia s'acumula més deformació plàstica.

${\overline{\sigma }}_{ij}={\sigma }_{ij}-({\sigma }_{kk}/3){\delta }_{ij}$, són les components de la part desviadora del tensor tensió.

${\alpha }_{ij}$ és la velocitat de deformació co-rotacional que pot obtindre's a partir de la derivada temporal del tensor deformació per mig de:

La versió isótropo d'este model conté 7 constants del material: dos constants elàstiques $E,\nu$, dos paràmetros de plasticidad $E_p,{\sigma }_0$, dos paràmetros de viscoelásticos $C,p$ i el paràmetro d'enduriment $\beta$.

Model de plasticidad J₂ en enduriment

Est és un model elasto-plàstic isótropo sense viscosidad que generalisa el modele J₂ sense enduriment. En este model, les equacions d'evolució del tensor de deformació plàstica es substituyen per atres més complicades i s'afigen les següents variables internes $𝝃=(\alpha ,{\beta }_{ij})$. La deformació plàstica evoluciona segons l'equació:

A on:

${\hat{\sigma }}_{ij}={\overline{\sigma }}_{ij}-{\beta }_{ij}$, és el tensor de tensions desviador corregit.

${\overline{\sigma }}_{ij}={\sigma }_{ij}-({\sigma }_{kk}{\delta }_{ij})/3$, és el tensor de tensions desviador.

${\sigma }_y=K(\alpha )$, és una funció escalar que regula l'enduriment.

Mentres que les equacions d'evolució de les variables internes ve donada per: