Polígon de Petrie
| Hepteracto (hipercubo de sèt dimensions) | |
|---|---|
| Archiu:Hepteract ortho petrie.svg El contorn, un polígon regular de 14 costats, és una proyecció ortogonal del polígon de Petrie del hepteracto. |
En geometria, el polígon de Petrie d'un politopo n dimensional, o d'un panal (n − 1)–dimensional, és un polígon alabeado tal que qualssevol n − 1 costats consecutius, pero no n, pertanyen al polígon de Petrie d'una cela.[1] El polígon de Petrie d'un polígon regular és el mateix polígon regular. El d'un poliedre regular és un polígon alabeado (els vèrtiços del qual no yacer tots en el mateix pla) tal que cada dos costats consecutius (pero no tres) pertanyen a una de les cares del poliedre.[2]
Per a cada politopo regular existix una proyecció ortogonal sobre un pla, de tal forma que un polígon de Petrie es convertix en un polígon regular, en el restant de la proyecció dins d'est.[3] Dit pla és el pla de Coxeter del grup de simetria del polígon i el número de costats, h, és el número de Coxeter del grup de Coxeter.
Estos polígons i les seues gràfiques proyectades són útils en la visualisació de l'estructura simètrica dels politopos regulars de dimensions superiors, els quals són molt difícils de concebre o imaginar sense ajuda.
Deuen el seu nom al matemàtic britànic John Flinders Petrie (1907-1972)).
Els polígons de Petrie dels poliedres regulars
[editar | editar còdic]El polígon de Petrie del poliedre regular {p, q} té h costats, a on
- cos2(π/h) = cos2(π/p) + cos2(π/q).
Els Poliedres duals regulars, {p,q} i {q,p}, estan continguts dins del mateix polígon de petrie proyectat.
| Archiu:Petrie polygons.svg | ||||
| tetraedre | gaveta | octaedre | dodecaedre | icosaedre |
| centrat en les arestes | centrat en els vèrtiços | centrat en les cares | centrat en les cares | centrat en els vèrtiços |
| 4 costats | 6 costats | 6 costats | 10 costats | 10 costats |
| V:(4,0) | V:(6,2) | V:(6,0) | V:(10,10,0) | V:(10,2) |
| Els polígons de Petrie són l'exterior d'estes proyeccions ortogonals. Els polígons blaus mostren arestes dutes al front, mentres que les llínees negres mostren arestes dutes darrere. Els anells concèntrics de vèrtiços es conten començant des de l'exterior cap a l'interior en l'anotació: V:(a, b, ...), acabant en un zero si no hi ha vèrtiços centrals. | ||||
Els polígons de Petrie dels policoros regulars (4-politopos)
[editar | editar còdic]El polígon de Petrie del policoro regular{p, q ,r} també pot ser determinat.
| Archiu:4-simplex t0.svg {3,3,3} Pentácoron 5 costats V:(5,0) |
Archiu:4-orthoplex.svg {3,3,4} Hexadecacoron 8 costats V:(8,0) |
Archiu:4-cube graph.svg {4,3,3} Hipercubo 8 costats V:(8,8,0) |
| Archiu:24-cell t0 caps block 16 .svg {3,4,3} Icositetracoron 12 costats V:(12,6,6,0) |
Archiu:120-cell graph caps block 22 .svg {5,3,3} Hecatonicosacoron 30 costats V:((30,60)3,603,30,60,0) |
Archiu:600-cell graph caps block 28 .svg {3,3,5} Hexacosicoron 30 costats V:(30,30,30,30,0) |
Notes
[editar | editar còdic]- ↑ Coxeter (1973). Regular polytopes, cap. xii «The generalized Petrie polygon», §12·4 The Petrie polygon of {p, q, ..., w}, págs. 223−225.
- ↑ Coxeter, op. cit., cap. ii «Regular and quasi–regular solids», §2·6 Petrie polygons, págs. 24-25.
- ↑ Ball; Coxeter (1987). Mathematical recreations and essays, cap. v «Polyhedra», pág. 135.
Referències
[editar | editar còdic]- (1987) Mathematical recreations and essays, 13.ª edició, Nova York: Dover Publications. ISBN 0-486-25357-0.
- <cite style="font-style:normal" id="CITAREFMcMullen2002">McMullen, Peter (2002). Abstract regular polytopes, Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-81496-0.
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Polígono de Petrie» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.