Polinomis de Chebyshov

En matemàtica, els polinomis de Chebyshev, nomenats en honor a Pafnuti Chebyshev, són una família de polinomis ortogonals que estan relacionats en la fòrmula de De Moivre i són definits de forma recursiva en facilitat, tal com ocorre en els números de Fibonacci o els números de Lucas. Usualment es fa una distinció entre polinomis de Chebyshev de primer tipo que són denotats T_n i polinomis de Chebyshev de segon tipo, denotats O_n. La lletra T és usada per la transliteración alternativa del nom Chebyshev com Tchebychef o Tschebyscheff.

Els polinomis de Chebyshev T_n o O_n són polinomis de grau n i la successió de polinomis de Chebyshev de qualsevol tipo conforma una família de polinomis.

Els polinomis de Chebyshev són importants en la teoria de l'aproximació perque les raïls dels polinomis de Chebyshev de primer tipo, també cridades nodos de Chebyshev, són usades com a nodos en interpolació polinòmica. El polinomi d'interpolació resultant minimisa el problema del fenomen de Runge i entrega una aproximació propenca del polinomi a la millor aproximació a una funció contínua baixe la norma maximal. Esta aproximació conduïx directament al método de la quadratura de Clenshaw-Curtis.

En l'estudi d'equacions diferencials sorgixen com la solució a les equacions diferencials de Chebyshev

$(1-x^2)y^{″}-x{y}^{\prime }+n^{2}y=0$

i

$(1-x^2)y^{″}-3x{y}^{\prime }+n(n+2)y=0$

per a polinomis del primer i segon tipo, respectivament. Estes equacions són casos particulars de l'equació diferencial de Sturm-Liouville.

Definició

Archiu:Mplwp chebyshevT05.svg

polinomis de Chebyshev de primer tipo T_n

Els polinomis de Chebyshev de primer tipo són definits per mig de la relació de recurrencia

$T_0(x)=1$

$T_1(x)=x$

$T_{n+1}(x)=2x{T}_n(x)-T_{n-1}(x).$

Un eixemple de funció generatriz per a T_n és

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{T}_n(x)t^n=\frac{1-tx}{1-2tx+t^2}.$

Archiu:Mplwp chebyshevU05.svg

polinomis de Chebyshev de segon tipo O_n

Els polinomis de Chebyshev de segon tipo són definits per mig de la relació de recurrencia

$U_0(x)=1$

$U_1(x)=2x$

$U_{n+1}(x)=2x{U}_n(x)-U_{n-1}(x).$

Un eixemple de funció generatriz para O_n és

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{U}_n(x)t^n=\frac{1}{1-2tx+t^2}.$

Definició trigonométrica

Els polinomis de Chebyshev de primer tipo poden ser definits per l'identitat trigonométrica:

$T_n(x)=\cos (n\arccos x)=\cosh (n\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}x)$

d'a on:

$T_n(\cos (\theta ))=\cos (n\theta )$

per a n = 0, 1, 2, 3,..., mentres que els polinomis de segon tipo satisfan:

$U_n(\cos (\theta ))=\frac{\sin ((n+1)\theta )}{\sin \theta }$

que és estructuralment similar al núcleu de Dirichlet.

Eixe cos(nx) és un polinomi de grau n-ésimo en cos(x) que pot obtindre's observant que cos(nx) és la part real d'un costat de la fòrmula de De Moivre, i que la part real de l'atre costat és un polinomi en cos(x) i sense(x), en el que totes les potències de sense(x) són parells, després reemplazables via l'identitat cos²(x) + sense²(x) = 1.

Esta identitat és molt útil en conjunt en la fòrmula generatriz recursiva, permetent calcular el coseno de qualsevol integral múltiple d'un àngul únicament en térmens del coseno de l'àngul basal. Evaluant els dos primers polinomis de Chebyshev:

$T_0(x)=\cos 0x=1$

i:

$T_1(\cos (x))=\cos (x)$

un pugues directament determinar que:

$\cos (2\theta )=2\cos \theta \cos \theta -\cos (0\theta )=2{\cos }^2\theta -1$

$\cos (3\theta )=2\cos \theta \cos (2\theta )-\cos \theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$

i aixina successivament. Per a provar trivialmente si els resultats semblen raonables, basta sumar els coeficients en abdós costats del signe igual (és dir, fixant theta igual a zero, cas en que el coseno equival a l'unitat), obtenint que 1 = 2 - 1 en la primera expressió i 1 = 4 - 3 en la segona.

Un corolari immediat és l'identitat de composició

$T_n(T_m(x))=T_{n\cdot m}(x).$

Explícitament

$T_n(x)=\{\begin{array}{cc}\cos (n\arccos (x)),& x\in [-1,1]\\ \cosh (n\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(x)),& x\ge 1\\ (-1{)}^n\cosh (n\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(-x)),& x\le -1\end{array}$

(sense oblidar que els cosenos hiperbòlics inversos de x i −x diferixen per la constant π). A partir d'un raonament similar a l'anterior, és possible desenrollar una forma tancada per a la generatriz de polinomis de Chebyshev de tercer tipo:

$\cos (n\theta )=\frac{e^{in\theta }+e^{-in\theta }}{2}=\frac{(e^{i\theta }{)}^n+(e^{i\theta }{)}^{-n}}{2}$

la qual, combinada en la fòrmula de De Moivre:

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta =\cos \theta +i\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=\cos \theta +\sqrt{{\cos }^2\theta -1}$

entrega:

$\cos (n\theta )=\frac{{(\cos \theta +\sqrt{{\cos }^2\theta -1})}^n+{(\cos \theta +\sqrt{{\cos }^2\theta -1})}^{-n}}{2}$

expressió que, per supost, és una forma molt més expedita per a determinar el coseno de N voltes un àngul ya que iterar prop de N voltes en la forma recursiva. Finalment, si reemplacem $\cos (\theta )$ per x, podem escriure:

$T_n(x)=\frac{{(x+\sqrt{x^2-1})}^n+{(x+\sqrt{x^2-1})}^{-n}}{2}.$

Definició a partir de l'equació de Pell

Els polinomis de Chebyshev també poden ser definits com les solucions a l'equació de Pell

$T_i^2-(x^2-1)U_{i-1}^2=1$

en un anell R[x] (i.g., vore Demeyer (2007), p.70). D'esta manera, poden ser generats per la tècnica estàndar per a l'equacions de Pell consistent en prendre potències d'una solució fonamental:

$T_i+U_{i-1}\sqrt{x^2-1}=(x+\sqrt{x^2-1}{)}^i.$

Relació entre els polinomis de Chebyshev de primer i segon tipo

Els polinomis de Chebyshev de primer i segon tipo estan relacionats a través de les següents equacions

$\frac{d}{dx}{T}_n(x)=n{U}_{n-1}(x)\text{ , }n=1,\dots$

$T_n(x)=\frac{1}{2}(U_n(x)-U_{n-2}(x)).$

$T_{n+1}(x)=x{T}_n(x)-(1-x^2)U_{n-1}(x)$

$T_n(x)=U_n(x)-x{U}_{n-1}(x).$

La relació de recurrencia per a la derivada dels polinomis de Chebyshev pot ser obtinguda d'estes relacions

$2T_n(x)=\frac{1}{n+1}\frac{d}{dx}{T}_{n+1}(x)-\frac{1}{n-1}\frac{d}{dx}{T}_{n-1}(x)\text{ , }n=1,\dots$

Esta relació és usada en el método espectral de Chebyshev de resolució d'equacions diferencials.

Equivalentement, les dos successions poden també ser definides a partir d'un parell d'equacions de recurrencia mútua:

$T_0(x)=1$

$U_{-1}(x)=0$

$T_{n+1}(x)=x{T}_n(x)-(1-x^2)U_{n-1}(x)$

$U_n(x)=x{U}_{n-1}(x)+T_n(x)$

Estes poden ser obtingudes des de fòrmules trigonométricas; per eixemple, si $x=\cos \vartheta$, llavors

$\begin{array}{cc}{T}_{n+1}(x)& =T_{n+1}(\cos (\vartheta ))\\ & =\cos ((n+1)\vartheta )\\ & =\cos (n\vartheta )\cos (\vartheta )-\sin (n\vartheta )\sin (\vartheta )\\ & =T_n(\cos (\vartheta ))\cos (\vartheta )-U_{n-1}(\cos (\vartheta )){\sin }^2(\vartheta )\\ & =x{T}_n(x)-(1-x^2)U_{n-1}(x).\\ \end{array}$

Notar que tant estes equacions com les trigonométricas adquirixen una forma més simple si seguim la convenció alternativa d'escriure O_n (el polinomi de grau n) com O_n+1.

Propietats

Ortogonalidad

Tant T_n com O_n formen una família de polinomis ortogonals. Els polinomis de primer tipo són ortogonals sobre el pes

$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$

en l'interval [−1,1], i.i. tenim:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{T}_n(x)T_m(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\{\begin{array}{cc}0& :n\ne m\\ \pi & :n=m=0\\ \pi /2& :n=m\ne 0\end{array}$

Açò pot ser demostrat prenent x= cos(θ) i usant l'identitat T_n (cos(θ))=cos(nθ). Similarment, els polinomis de segon tipo són ortogonals sobre el pes

$\sqrt{1-x^2}$

en l'interval [−1,1], i.i. tenim:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{U}_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}dx=\{\begin{array}{cc}0& :n\ne m\\ \pi /2& :n=m\end{array}$

(que, en ser normalisat per a formar una mida de provabilitat, és la distribució semicircular de Wigner).

Norma mínima $\mathrm{\infty }$

Donat qualsevol $1\le n$, entre els polinomis de grau $n$ en primer coeficient 1, $f(x)=\frac{1}{2^{n-1}}{T}_n(x)$ és tal que el valor absolut màxim en l'interval $[-1,1]$ és mínim. Este valor absolut maximal és $\frac{1}{2^{n-1}}$ i $|f(x)|$ alcança este màxim exactament $n+1$ voltes: en $-1$ i $1$ i els atres $n-1$ punts extrems de $f$.

Diferenciació i integració

Les derivades dels polinomis poden ser menys directes. Diferenciant els polinomis en les seues formes trigonométricas, és fàcil mostrar que:

$\frac{d{T}_n}{dx}=n{U}_{n-1}$

$\frac{d{U}_n}{dx}=\frac{(n+1)T_{n+1}-x{U}_n}{x^2-1}$

$\frac{d^2{T}_n}{d{x}^2}=n\frac{n{T}_n-x{U}_{n-1}}{x^2-1}=n\frac{(n+1)T_n-U_n}{x^2-1}.$

Les dos últimes fòrmules poden ser numèricament problemàtiques per la divisió per zero (0/0 forma indeterminada, específicament) en x = 1 i x = −1. Pot ser demostrat que:

$\frac{d^2{T}_n}{d{x}^2}{|}_{x=1}=\frac{n^4-n^2}{3}$

$\frac{d^2{T}_n}{d{x}^2}{|}_{x=-1}=(-1{)}^n\frac{n^4-n^2}{3}$

Sobre l'integració, la primera derivada de T_n implica que

$\int U_{n}dx=\frac{T_{n+1}}{n+1}$

i la relació de recurrencia per als polinomis de primer tipo involucrant derivades establix que

$\int T_{n}dx=\frac{1}{2}(\frac{T_{n+1}}{n+1}-\frac{T_{n-1}}{n-1})=\frac{n{T}_{n+1}}{n^2-1}-\frac{x{T}_n}{n-1}.$

Raïls i extrems

Un polinomi de Chebyshev de qualsevol tipo en grau n té n raïls simples distintes, cridades nodos de Chebyshev, en l'interval [−1,1]. Usant la definició trigonométrica i ya que

$\cos (\frac{\pi }{2}(2k+1))=0$

és fàcil demostrar que les raïls de T_n són

$x_k=\cos \left(\frac{\pi }{2}\frac{2k-1}{n}\right)\text{ , }k=1,\dots ,n.$

Similarment, les raïls de O_n són

$x_k=\cos \left(\frac{k}{n+1}\pi \right)\text{ , }k=1,\dots ,n.$

Una propietat única dels polinomis de Chebyshev de primer tipo és que en l'interval −1 ≤ x ≤ 1 tots els valors extrems tenen valors iguals a −1 o 1. Tant els de primer i segon tipo tenen extrems en els punts de vora, donats per:

$T_n(1)=1$

$T_n(-1)=(-1{)}^n$

$U_n(1)=n+1$

$U_n(-1)=(n+1)(-1{)}^n$

Atres propietats

Els polinomis de Chebyshev són un cas especial dels polinomis de Gegenbauer, que a la seua volta són un cas especial dels polinomis de Jacobi.

Per cada sancer no negatiu n, T_n(x) i O_n(x) són abdós polinomis de grau n. Són funcions pares o impar de x si n is parell o impar, llavors en ser escrits com a polinomis de x només té térmens pares o impar respectivament.

El primer coeficient de T_n és 2^n − 1 si 1 ≤ n, pero 1 si 0 = n.

Vore també

• Nodos de Chebyshev
• Filtre de Chebyshev
• Raïl cúbica de Chebyshev
• Polinomis de Legendre
• Polinomis de Hermite
• Funcions racionals de Chebyshev
• Quadratura de Clenshaw-Curtis
• Teoria de l'aproximació