Polinomis de Fibonacci

Archiu:Fibonacci polynomial.png

Polinomis de Fibonacci

En matemàtiques, els polinomis de Fibonacci són una seqüència polinomial que es pot considerar com una generalisació de la successió de Fibonacci. Els polinomis generats de forma similar al número de Lucas es diuen polinomis de Lucas.

Definició

Els polinomis de Fibonacci estan definits per una relació de recurrencia:

$F_n(x)=\{\begin{array}{cc}0,& \text{si }n=0\\ 1,& \text{si }n=1\\ x{F}_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),& \text{si }n\ge 2\end{array}$

Els primers polinomis de Fibonacci són:

$F_0(x)=0$

$F_1(x)=1$

$F_2(x)=x$

$F_3(x)=x^2+1$

$F_4(x)=x^3+2x$

$F_5(x)=x^4+3x^2+1$

$F_6(x)=x^5+4x^3+3x$

Els polinomis de Lucas usen la mateixa recurrencia en diferents valors inicials: $L_n(x)=\{\begin{array}{cc}2,& \text{si }n=0\\ x,& \text{si }n=1\\ x{L}_{n-1}(x)+L_{n-2}(x),& \text{si }n\ge 2.\end{array}$

Els primers polinomis de Lucas són:

$L_0(x)=2$

$L_1(x)=x$

$L_2(x)=x^2+2$

$L_3(x)=x^3+3x$

$L_4(x)=x^4+4x^2+2$

$L_5(x)=x^5+5x^3+5x$

$L_6(x)=x^6+6x^4+9x^2+2.$

Els números de Fibonacci i Lucas s'obtenen en donar valor als polinomis en x = 1; els números de Pell resulten d'assignar un valor a F_n en x = 2. Els graus de F_n són n − 1 i el grau de L_n és n. Les funcions generadores ordinàries per a les seqüències són:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{F}_n(x)t^n=\frac{t}{1-xt-t^2}$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{L}_n(x)t^n=\frac{2-xt}{1-xt-t^2}.$

Els polinomis es poden expressar en térmens de la successió de Lucas com

$F_n(x)=U_n(x,-1),$

$L_n(x)=V_n(x,-1).$

Identitats

Artícul principal → Successió de Lucas.

Com a casos particulars de seqüències de Lucas, els polinomis de Fibonacci satisfan una série d'identitats.

Primer, poden ser definits pels índexs negatius per

$F_{-n}(x)=(-1{)}^{n-1}{F}_n(x),L_{-n}(x)=(-1{)}^n{L}_n(x).$

Atres identitats inclouen:

$F_{m+n}(x)=F_{m+1}(x)F_n(x)+F_m(x)F_{n-1}(x)$

$L_{m+n}(x)=L_m(x)L_n(x)-(-1{)}^n{L}_{m-n}(x)$

$F_{n+1}(x)F_{n-1}(x)-F_n(x{)}^2=(-1{)}^n$

$F_{2n}(x)=F_n(x)L_n(x).$

Les expressions de forma tancada, similars a la fòrmula de Binet són:

$F_n(x)=\frac{\alpha (x{)}^n-\beta (x{)}^n}{\alpha (x)-\beta (x)},L_n(x)=\alpha (x{)}^n+\beta (x{)}^n,$

a on

$\alpha (x)=\frac{x+\sqrt{x^2+4}}{2},\beta (x)=\frac{x-\sqrt{x^2+4}}{2}$

són les solucions (en t) de

$t^2-xt-1=0.$

Una relació entre els polinomis de Fibonacci i els polinomis de base estàndar ve donada per

$x^n=F_{n+1}(x)+\sum _{k=1}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1{)}^k[(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1})]F_{n+1-2k}(x).$

Per eixemple,

$x^4=F_5(x)-3F_3(x)+2F_1(x)$

$x^5=F_6(x)-4F_4(x)+4F_2(x)$

$x^6=F_7(x)-5F_5(x)+9F_3(x)-5F_1(x)$

$x^7=F_8(x)-6F_6(x)+14F_4(x)-14F_2(x)$

Bibliografia

• Lucas Polynomial en MathWorld.