Sistemes de reacció-difusió

Archiu:Turing bifurcation 3.gif

Sistemes de reacció-difusió

Els sistemes de reacció-difusió són models matemàtics que descriuen cóm una o més substàncias distribuïdes en l'espai canvien baix l'influència de dos processos: reaccions químiques locals en les que les substàncies es transformen les unes en les atres, i difusió, que provoca que les substàncies s'expandixquen en l'espai. El resultat d'este procés és una configuració estable en la que la composició química és no uniforme en un domini espacial.

Els sistemes de reacció-difusió s'apliquen a la modelización de processos tant químics com a dinàmics de naturalea no química. Trobem eixemples de tals aplicacions en biologia, geologia, física i ecologia. Matemàticament, els sistemes de reacció-difusió tenen la forma d'equacions parabòliques en derivades parcials i poden representar-se baix la forma general:

${\partial }_t𝒒=\underset{\_}{𝑫}\Delta 𝒒+𝑹(𝒒),$

a on cada component del vector q(x,t) representa la concentració d'una substància, D és una matriu diagonal de coeficients de difusió, Δ denota l'operador laplaciano i R dona conte de les reaccions locals.

Les solucions de les equacions de reacció-difusió mostren un ampli ranc de comportaments, incloent la formació d'ones viageres i fenomens de tipo ona, aixina com atres patrons autoorganizados com a bandes, hexàgons o estructures més complicades com solitones disipativos.

Sistemes de reacció-difusió d'un component

L'equació de reacció-difusió més simple, també cridada equació KPP (Kolmogorov-Petrovsky-Piscounov) afecta a la concentració o d'una sola substància en una dimensió espacial:

${\partial }_{t}u=D\underset{x}{\overset{2}{\partial }}u+R(u),$

• Si eliminem el terme reacció, representa un procés de difusió, sent l'equació corresponent l'equació de la calor.
• Si R(o) = o(1-o), obtenim l'equació de Fisher, utilisada originalment per a descriure l'expansió de les poblacions biològiques.
• Si R(o) = o(1-o²), obtenim l'equació Newell-Whitehead-Segel per a descriure la convecció de Benard
• Si R(o) = o(1-o)(o-α) i 0<α<1, obtenim l'equació Zeldovich que apareix en la teoria de la combustió, i el seu cas degenerado, en R(o) = o²-o³.

${\partial }_{t}u=-\frac{\delta 𝔏}{\delta u}$

Sistemes de reacció-difusió en biologia i genètica del desenroll

Des de que en 1952 Alan Turing els va propondre com "la base química de la morfogénesis", els sistemes de reacció-difusió s'han utilisat per a modelizar diversos processos biològics de formació de patrons.

En els sistemes químics, les reaccions químiques són la font dels components moleculars i la difusió és el procés físic clàssic basat en el moviment browniano. No obstant, en el cas del desenroll de teixits, tant la reacció com la difusió són processos molt més complexos: la reacció implica la producció i el consum de molècules per part de les cèlules; el transport a través de teixits, encara que capaç de generar gradient moleculars, és un procés molt més complex que la simple difusió. D'ahí que s'haja propost el terme "reactor-difusió" per a l'aplicació del mecanisme de Turing a processos biològics.