Solució de pols per a la relativitat general

Una solució de pols en la relativitat general és una solució exacta de les equacions de camp d'Einstein en la que el camp gravitacional és produït íntegrament per la massa, el moment i la densitat de tensió d'un decorregut perfecte que té una «massa positiva» pero «pressió nula» (en «desaparició», «de fuga»). Les solucions de pols són, en molt, el cas especial més important de solucions de decorreguts en relativitat general.

El decorregut perfecte sense pressió en una solució de pols pot interpretar-se com un model d'una configuració de «partícules de pols» que interactuen entre sí únicament per gravetat. Per esta raó, els models de pols s'ampren a sovint en cosmologia com a models d'un univers «de joguet», en el que les partícules de pols es consideren models altament idealizados de galàxies, aglomerados o supercúmulos. En astrofísica, les solucions de pols s'han utilisat com a models de colapse gravitacional. Les solucions de pols també poden utilisar-se per a modelar discs giratoris finitos de grans de pols. Si se superponen d'alguna manera sobre un model estelar que comprén una esfera de decorregut rodejada per buit, es pot utilisar una solució de pols per a modelar un disc d'acreció al voltant d'un objecte en massa; no obstant, encara no es coneix cap d'estes modelización de discs d'acreció per mig de solucions rotatives exactes, per l'extrema dificultat matemàtica de construir-los.

Definició matemàtica

El tensor d'energia-impulse d'un decorregut relativiste sense pressió pot escriure's en forma simple

$T^{\mu \nu }={\rho }_0{U}^{\mu }{U}^{\nu }.$

Ací, les llínees mundials de les partícules de pols són les curves integrals de la cuadrivelocitat $U^{\mu }$ i la densitat de la matèria en el marc de repòs de la pols ve donada per la funció escalar ${\rho }_0$.

Valors propis

Ya que el tensor d'energia-tensió és una matriu de ranc un, un breu càlcul mostra que el polinomi característic

$\chi (\lambda )={\lambda }^4+a_3{\lambda }^3+a_2{\lambda }^2+a_1\lambda +a_0$

del tensor d'Einstein en una solució de pols tindrà la forma

$\chi (\lambda )=(\lambda -8\pi \mu ){\lambda }^3$

En multiplicar este producte, trobem que els coeficients deuen satisfer les següents tres condicions algebraicament independents, i invariantes:

$a_0=a_1=a_2=0$

Utilisant les identitats de Newton, en térmens de les sumes de les potències de les raïls (autovalores), que són també les traces de les potències del propi tensor d'Einstein, estes condicions es convertixen en:

$t_2=t_1^2,t_3=t_1^3,t_4=t_1^4$

En notació d'índex tensorial, açò es pot escriure utilisant l'escalar de Ricci com:

${G^a}_a=-R$

${G^a}_b{G^b}_a=R^2$

${G^a}_b{G^b}_c{G^c}_a=-R^3$

${G^a}_b{G^b}_c{G^c}_d{G^d}_a=R^4$

Este criteri de valors propis és útil en ocasions per a buscar solucions de pols, ya que mostra que molt poques varietats pseudoriemannianas podrien admetre una interpretació, en relativitat general, com a solució de pols.

Vore també

• Grup de Lorentz