Soroll de quantificació

Archiu:Conversor caps block 0 1.svg

Figura 1: Processos de la conversió A/D.

Es definix com a error de quantificació o soroll de quantificació a la senyal en temps discret i amplitut contínua introduïda pel procés de quantificació (un dels processos que intervenen en la conversió analògica-digital, que seguix al de mostreig i precedix al de codificació) i que resulta d'igualar els nivells de les mostres d'amplitut contínua als nivells de quantificació més pròxims. Una volta quantificades les mostres podran ser codificades ya que sempre es podrà establir una correspondència biunívoca entre cada nivell de quantificació i un número entero. Per al cas del quantificador ideal es tracta de l'únic error que introduïx el procés.

Figura 2: Funció de transferència del procés de quantificació. Un interval de valors d'entrada (escaló de quantificació) es correspon en un únic valor d'eixida. Aixina, per cada valor d'entrada s'obté un valor d'eixida i un error que, si es resta al d'eixida, tornaria el valor d'entrada. L'error és màxim quan el valor d'entrada és equidistant als seus dos nivells de quantificació més pròxims (es diu llavors que es troba sobre el nivell de decisió). L'error és zero quan el valor d'entrada equival a un nivell de quantificació i, per tant, al nivell d'eixida. Es pot observar que l'amplitut màxima de l'error és de mig escaló de quantificació (Δ = Escaló de quantificació) mentres la senyal d'entrada es troba dins del ranc de quantificació.

El procés de convertir una senyal en temps discret d'amplitut contínua (açò és, en el procés de mostreig la senyal s'ha dividit en el temps en un número finito de mostres pero el valor d'estes encara no ha segut llimitat en precisió) en una senyal discreta en temps i amplitut (les seues dos dimensions), expressant cada mostra per mig d'una precisió finita i coneguda (en contraposició a una precisió infinita -en matemàtica- o indeterminada -en física-) conseqüència de l'ajust a un número finito i determinat de nivells, es denomina quantificació. La diferència que resulta de restar la senyal d'entrada a la d'eixida és el error de quantificació, açò és, la mida en la que ha segut necessari canviar el valor d'una mostra per a igualar-ho al seu nivell de quantificació més pròxim. Esta diferència, entesa com una seqüència de mostres de temps discret pero d'amplitut contínua (de la mateixa manera que la senyal d'entrada), pot ser interpretat en la pràctica com una senyal indeseada afegida a la senyal original (motiu pel que es denomina soroll, encara que no sempre complixca en tots els criteris necessaris per a ser considerat aixina i no distorsió), de modo que es complix:

Figura 3: Model matemàtic del soroll de quantificació.

$e_q(n)=x_q(n)-x(n)$

a on $x(n)$ representa a la seqüència de mostres d'amplitut contínua a l'entrada del quantificador, $x_q(n)$ a la seqüència de mostres d'amplitut discreta (quantificades) a l'eixida del quantificador i $e_q(n)$ representa a la seqüència de mostres d'amplitut contínua de l'error de quantificació. El receptor/llector de $x_q(n)$ (o de la seua versió codificada posterior) no té l'informació necessària per a identificar el component d'error $e_q(n)$ que inclou i poder recuperar $x(n)$. És dir, la reconstrucció de les mostres originals d'amplitut contínua (sense quantificar) no és possible solament a partir de les mostres quantificades: falta l'informació necessària per a distinguir l'error de la senyal una volta estos se sumen en la quantificació (vore Figura 3).

En la Figura 2 és possible verificar que l'error de quantificació $e_q(n)$ està sempre en el ranc -Δ/2 a Δ/2 mentres la senyal analògica d'entrada es trobe dins del ranc del quantificador:

$-\frac{\Delta }{2}<e_q(n)<\frac{\Delta }{2}$

a on $\Delta$ és el tamany de l'escaló de quantificació que ve dau per:

$\Delta =\frac{R}{L}$

a on $R$ és el ranc del quantificador i $L$ el número de nivells de quantificació.

Figura 4: La llínea roja correspon en les mostres (2000 en este eixemple per al cicle complet per lo que produïx l'ilusió de ser contínua) sense quantificar (mostres d'entrada al quantificador) d'una senyal original sinusoidal sense dither, la verda representa eixes mateixes mostres d'entrada quantificades (eixida del quantificador ideal) i la blava mostra l'error de quantificació que resulta del procés de quantificació. La relació senyal a soroll de quantificació (SQNR) és per a este cas de sol 24,74 dB a l'objecte de resaltar l'error de quantificació i la seua forma. Dit d'un atre modo, l'amplitut de la sinusoidal original d'entrada (llínea roja) és de 7,5 nivells de quantificació (la màxima amplitut d'una sinusoidal que pot quantificar un quantificador per grosseig de 4 bits ya que el nivell de quantificació de valor 0 no pot estar centrat en haver un número par de nivells totals). A l'objecte de posar de manifest el soroll de quantificació, a la senyal d'entrada sinusoidal d'este eixemple no se li ha afegit Dither (un soroll analògic que s'afig intencionadament a la senyal d'entrada abans de la conversió A/D). En la pràctica, i com a conseqüència de la llògica i habitual pràctica d'afegir dither (vore Soroll o distorsió: la necessitat d'afegir dither), la figura notablement escalonada d'una senyal quantificada com l'ilustrada ací adquirix l'aspecte de la Figura 9.

En el cas de que l'error està llimitat en magnitut [és dir, $|e_q(n)|<\Delta /2$], l'error resultant es denomina soroll granular. Quan l'entrada cau fòra del ranc de quantificació (retallada), $e_q(n)$ és illimitat i resulta en soroll de sobrecàrrega.

Teòricament, la quantificació de les senyals analògiques resulta sempre en una pèrdua d'informació (inclús en el seu cas ideal). Est és el resultat de l'ambigüitat introduïda per la quantificació. De fet, la quantificació és un procés no reversible, ya que a totes les mostres a un interval inferior a Δ/2 d'un determinat nivell se'ls assignen el mateix valor. No obstant, discretizar una senyal en la seua atra dimensió (el temps) per mig del procés de mostreig, no és irreversible tal i com demostra el teorema de mostreig i si es complixen els criteris que impon la pròpia teorema per la naturalea periòdica i, per tant, determinista de les senyals que se someten a este procés i a la llimitació de l'ample de banda (llímit superior a la freqüència dels components que componen la senyal periòdica). Dit d'un atre modo, una ona periòdica muestreada complint els criteris de Nyquist solament pot comportar-se d'un únic modo entre dos mostres contigües i este comportament és totalment deduible a partir de la série completa de mostres d'amplitut contínua de la senyal. La discretización de la dimensió amplitut (la quantificació), és, per tant, l'únic procés que introduïx un error teòric (en processos ideals) sobre la senyal original en tot el procediment complet de digitalisació d'una senyal.

Espectre i distribució de provabilitat de l'amplitut de l'error de quantificació

El soroll de quantificació és aproximadament de distribució uniforme en amplitut i de densitat espectral més o menys constant (soroll blanc) sobre tota la banda de Nyquist (fins a la freqüència crítica) suponent que l'error de quantificació no està correlacionado en la senyal ni present periodicitat. En este cas és possible referir-se a l'error de quantificació com un soroll blanc uniforme.

Baixe certes condicions a on la taxa de mostreig i la senyal estan relacionats armónicament, açò és, que algun dels seus components harmònics siga d'una freqüència submúltiplo parell de la de mostreig, l'error de quantificació queda correlacionado i l'energia es concentra en els harmònics de la senyal (si be la potència de l'error és, en general, la mateixa que per al cas no correlacionado). En este cas, quan la senyal no desijada és funció de la senyal d'entrada, l'error no és un soroll i deu ser descrit com a distorsió.

Càlcul de la relació senyal-soroll de quantificació (SQNR)

Si es complixen les següents suposicions sobre les propietats estadístiques de $e_q(n)$:

1. L'error $e_q(n)$ es distribuïx uniformemente sobre el ranc $-\frac{\Delta }{2}<e_q(n)<\frac{\Delta }{2}$

2. La seqüència d'error $e_q(n)$ és una seqüència estacionaria de soroll blanc. En atres paraules, l'error $e_q(n)$ i l'error $e_q(m)$ per a $n\ne m$ estan incorrelados.

3. La seqüència d'error $e_q(n)$ està incorrelada en la seqüència $x(n)$.

4. La seqüència $x(n)$ té mija zero i és estacionaria.

l'efecte del soroll aditiu $e_q(n)$ en la senyal desijada es pot quantificar evaluant la relació (potència) senyal a soroll de quantificació (SQNR), que es pot expressar en escala logarítmica (en decibelis o dB) com

$SQNR=10{\log }_{10}\frac{P_x}{P_n}$

a on $P_x$ és la potència de la senyal i $P_n$ és la potència del soroll de quantificació.

En avant i per al restant dels càlculs sobre la potencia promig de l'error de quantificació, s'acceptarà que l'error complix en les propietats estadístiques descrites. No obstant, en general, estes suposicions no es mantenen, per lo que els càlculs que seguixen no s'entendran d'aplicació universal. No obstant, es mantenen quan el tamany de l'escaló de quantificació és chicotet en relació en la senyal i la seqüència $x(n)$ travessa varis nivells de quantificació entre dos mostres successives.

Potència de l'error de quantificació

Archiu:Caps block 8 Uniforme.svg

Figura 6: Funció de densitat de provabilitat dels valors de l'error de quantificació. Es tracta d'una distribució uniforme contínua en el ranc (-Δ/2, Δ/2). La seua varianza és de Δ²/12 i la seua desviació estàndar (σ_i) està marcada en roig.

Si l'error de quantificació es manté uniforme en el ranc (-Δ/2, Δ/2) (Figura 6), el valor mig de l'error és, per tant, zero i la potència del soroll en tota la banda de Nyquist con relación a l'escaló de quantificació és la varianza ${\sigma }_e^2$ d'esta distribució uniforme:

$P_n={\sigma }_e^2=\underset{-\Delta /2}{\overset{\Delta /2}{\int }}{e}^{2}p(e)de=\frac{1}{\Delta }\underset{-\Delta /2}{\overset{\Delta /2}{\int }}{e}^{2}de=\frac{1}{\Delta }\left(\frac{{\Delta }^3}{12}\right)=\frac{{\Delta }^2}{12}$

Este resultat coincidix en la potencia promig d'una ona triangular o en dents de serra d'amplitut màxima (amplitut de pico o cresta) $\Delta /2$: una senyal en dents de serra $e(t)$ d'esta amplitut de pico en l'interval corresponent a un semiciclo (0, π) es pot descriure:

$e(t)=\frac{\Delta }{2\pi }t,0\le t\le \pi$

Per tant, la potència de la senyal en dents de serra és:

$P_n=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{e}^2(t)dt=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{{\Delta }^2}{4{\pi }^2}{t}^{2}dt=\frac{1}{\pi }\left(\frac{{\Delta }^2}{4{\pi }^2}\right)\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{t}^{2}dt=\frac{{\Delta }^2}{4{\pi }^3}\left(\frac{{\pi }^3}{3}\right)=\frac{{\Delta }^2}{12}$

que coincidix en l'anàlisis per la varianza del primer càlcul.

És important notar que estos càlculs es referixen a la potència total del soroll de quantificació distribuït en tot l'interval de freqüències des de CC fins a la freqüència de Nyquist (la mitat de la taxa de mostreig), és dir, no contempla la reducció de la potencia conseqüència de l'us d'un filtre per sobremuestreo en la conversió A/D (vore Figura 10 i el capítul que tracta el sobremuestreo).

Potència d'una senyal harmònica (sinusoidal)

Per a una senyal harmònica (sinusoidal) $x(t)$ d'amplitut de pico $A=\frac{2^b}{2}\Delta =2^{b-1}\Delta$, és dir, de màxima amplitut per al ranc de convertidor d'un $b$ bits, la potència $P_x$, s'obté:

$P_x=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{x}^2(t)dt=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{(2^{b-1}\Delta )}^2{\sin }^2(t+\theta )dt=$ ${(2^{b-1}\Delta )}^2[\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{\sin }^2(t+\theta )dt]={(2^{b-1}\Delta )}^2\frac{1}{2}=\frac{2^{2b-2}{\Delta }^2}{2}=\frac{2^{2b}{\Delta }^2}{2^3}=\frac{4^b{\Delta }^2}{8}$

Coneguda la potència $P_n$ de l'error de quantificació en funció de l'escaló de quantificació $\Delta$ i la potència $P_x$ d'una senyal sinusoidal d'amplitut màxima per a un convertidor de ranc $2^b\Delta$ sent $b$ el número de bits que caracterisa al quantificador, podem substituir en l'equació abans mencionada del càlcul de la relació SNQR (resultat expressat en dB):

$SQNR=10\log \frac{P_x}{P_n}=10\log \left(\frac{\frac{4^b{\Delta }^2}{8}}{\frac{{\Delta }^2}{12}}\right)=10\log \frac{4^{b}12}{8}=10\log \left(4^b\frac{3}{2}\right)=$ $10[\log (4^b)+\log \left(\frac{3}{2}\right)]=10b\log (4)+10\log \left(\frac{3}{2}\right)\approx 6,0206b+1,7609$

En ocasions es descriu esta relació sense la constant "1,761". Açò es deu a que no s'ha tingut en conte que la relació senyal a soroll no és una simple relació entre amplitut de pico: es relacionen les potències de dos senyals i estes, en relació en la seua amplitut de pico, depenen de la seua forma d'ona. En el cas de l'aproximació descrita en la constant "1,761", lo que es relaciona és una sinusoidal pura màxima en un soroll l'amplitut del qual en les mostres complix una densitat de provabilitat uniforme (vore Figura 6). La necessitat d'afegir una constant resulta del fet de que la potència d'una sinusoidal és un 50% major que la del soroll de distribució uniforme d'idèntica amplitut de pico [10·log (1,5) ≈ 1,761]. Si la senyal de referència (màxima) no fora una sinusoidal pura, este valor solament seria una aproximació. L'us d'una sinusoidal pura com a referència resulta, per tant, d'una convenció.

És necessari recordar que encara que l'aproximació SQNR ≈ 6,0206b + 1,7609 s'ampra casi universalment per a la determinació de la relació senyal a soroll de quantificació màxima teòrica d'un quantificador, esta solament és un càlcul precís per a una senyal d'entrada sinusoidal de màxima amplitut (que cobrix tot el ranc del quantificador) i l'error del qual de quantificació complix les suposicions estadístiques descrites en el càlcul de la potència de l'error (vore Soroll o Distorsió). De fet, es pot comprovar en la Figura 5 com la SQNR de l'última senyal, la que resulta d'una sinusoidal de 32767,5 escalons de quantificació d'amplitut de cresta (a falta d'un únic escaló cobriria tot el ranc d'un quantificador de grosseig de 16 bits), és llaugerament superior a lo que resultaria del càlcul anterior aplicat a un quantificador de 16 bits. En qualsevol cas les diferències són despreciables per a senyals d'amplitut màxima quantificades en més de 6 bits (una SQNR d'uns 40 dB).

La relació SQNR ací mostrada contempla un soroll que s'estén per tota la banda de Nyquist. Si partix d'esta banda es filtra es deurà afegir una constant per a la banda restant (vore El sobremuestreo...).

Valor eficaç (RMS) de l'error de quantificació

Si l'error de quantificació es manté uniforme en el ranc (-Δ/2, Δ/2), el valor mig $\mu$ de l'error és, per tant, zero i el valor eficaç (raïl quadràtica mija o RMS de l'anglés Root Pixen Square) del soroll expressat en escalons de quantificació és igual a la desviació estàndar ${\sigma }_e$ d'esta distribució uniforme:

${\sigma }_e=\sqrt{\underset{-\Delta /2}{\overset{\Delta /2}{\int }}{e}^{2}p(e)de}=\sqrt{\frac{1}{\Delta }\underset{-\Delta /2}{\overset{\Delta /2}{\int }}{e}^{2}de}=\sqrt{\frac{1}{\Delta }\left(\frac{{\Delta }^3}{12}\right)}=\sqrt{\frac{{\Delta }^2}{12}}=\frac{\Delta }{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}\Delta }{6}$

És important notar que estos càlculs es referixen al valor eficaç del soroll de quantificació distribuït en tot l'interval de freqüències des de CC fins a la freqüència de Nyquist (la mitat de la taxa de mostreig), és dir, no contempla la reducció del valor eficaç conseqüència de l'us d'un filtre per sobremuestreo en la conversió A/D (vore Figura 10 i el capítul que tracta el sobremuestreo).

Valor eficaç (RMS) d'una senyal harmònica (sinusoidal)

Per a una senyal harmònica (sinusoidal) $x(t)$ d'amplitut de pico $A=\frac{2^b}{2}\Delta =2^{b-1}\Delta$, és dir, de màxima amplitut per al ranc de convertidor d'un $b$ bits, el valor eficaç en escalons de quantificació ${\sigma }_x$, s'obté:

${\sigma }_x=\sqrt{\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{x}^2(t)dt}=\sqrt{\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{(2^{b-1}\Delta )}^2{\sin }^2(t+\theta )dt}=$ $2^{b-1}\Delta \sqrt{\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{\sin }^2(t+\theta )dt}=2^{b-1}\Delta \sqrt{\frac{1}{2\pi }\pi }=2^{b-1}\Delta \sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{2^{b-1}\Delta }{\sqrt{2}}=\frac{2^b\Delta }{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\left(2^b\Delta \right)}{4}$

Per supost, també és possible deduir la relació senyal a soroll de quantificació (SQNR) a partir dels valors eficaços del soroll ${\sigma }_n$ i la senyal sinusoidal màxima per a un número determinat de bits ${\sigma }_x$ per mig de:

$SQNR=20\log \frac{{\sigma }_x}{{\sigma }_n}=20\log \left(\frac{\frac{\sqrt{2}\left(2^b\Delta \right)}{4}}{\frac{\sqrt{3}\Delta }{6}}\right)=20\log \left(2^b\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}\right)=20\log \left(2^b\frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{2}\right)=$ $20\log (2^b)+20\log \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)=20b\log (2)+20\log \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)\approx 6,0206b+1,7609$

La relació SQNR ací mostrada contempla un soroll que s'estén per tota la banda de Nyquist. Si partix d'esta banda es filtra es deurà afegir una constant per a la banda restant (vore El sobremuestreo...).

Vore també

• Quantificació digital
• Mostreig digital
• Codificació digital
• Teorema de mostreig de Nyquist-Shannon
• Ona periòdica