Teorema de mostreig de Nyquist-Shannon

Archiu:Sinc caps block 0 Audio.png

Funció d'interpolació g(t) per a F_s=44100 mostres per segon (estàndar CD-Àudio). Llevat para t=0, l'interval entre passos per zero (llínees verticals verts) representa l'interval entre mostres (22,68 µs per a este eixemple).

La teorema de mostreig de Nyquist-Shannon, també conegut com a teorema de mostreig de Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon o be teorema de Nyquist, és un teorema fonamental de la teoria de l'informació, d'especial interés en les telecomunicacions.

Esta teorema va ser formulada en forma de conjectura per primera volta per Harry Nyquist en 1928 (Certain topics in telegraph transmission theory), i va ser demostrat formalment per Claude E. Shannon en 1949 (Communication in the presence of noise).

La teorema tracta del mostreig, que no deu ser confòs o associat en la quantificació, procés que seguix al de mostreig en la digitalisació d'una senyal i que, al contrari del mostreig, no és reversible (es produïx una pèrdua d'informació en el procés de quantificació, inclús en el cas ideal teòric, que es traduïx en una distorsió coneguda com a error o soroll de quantificació i que establix un llímit teòric superior a la relació senyal-soroll). Dit d'un atre modo, des del punt de vista de la teorema, les mostres discretes d'una senyal són valors exactes que encara no han sofrit grosseig o truncació algun sobre una precisió determinada, és dir, encara no han segut quantificades.

Descripció matemàtica

Eixemple de reconstrucció d'una senyal de 14,7 kHz (llínea grisa discontínua) en només cinc mostres. Cada cicle es compon de només 3 mostres a 44100 mostres per segon. La reconstrucció teòrica resulta de la suma ponderada de la funció d'interpolació g(t) i les seues versions corresponents desplaçades en el temps g(t-nT) en $-\mathrm{\infty }<n<\mathrm{\infty }$, a on els coeficients de ponderació són les mostres x(n). En esta image cada funció d'interpolació està representada en un color (en total, cinc) i estan ponderades al valor de la seua corresponent mostra (el màxim de cada funció passa per un punt blau que representa la mostra).

La teorema demostra que la reconstrucció exacta d'una senyal contínua en banda base a partir de les seues mostres, és matemàticament possible si la senyal està llimitada en banda i la taxa de mostreig és superior al doble del seu ample de banda.

Dit d'un atre modo, l'informació completa de la senyal analògica original que complix el criteri anterior està descrita per la série total de mostres que varen resultar del procés de mostreig. No hi ha res, per tant, de l'evolució de la senyal entre mostres que no estiga perfectament definit per la série total de mostres.

Si la freqüència més alta continguda en una senyal analògica $x_a(t)$ és $F_{max}=B$ i la senyal es muestrea a una taxa $F_s>2F_{max}\equiv 2B$, llavors $x_a(t)$ es pot recuperar totalment a partir de les seues mostres per mig de la següent funció d'interpolació:

$g(t)=\frac{\sin 2\pi Bt}{2\pi Bt}$

Aixina, $x_a(t)$ es pot expressar com:

$x_a(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_a\left(\frac{n}{F_s}\right)g(t-\frac{n}{F_s})$

a on $x_a\left(\frac{n}{F_s}\right)=x_a\left(nT\right)\equiv x\left(n\right)$ són les mostres de $x_a\left(t\right)$.

Cal notar que el concepte d'ample de banda no necessàriament és sinònim del valor de la freqüència més alta en la senyal d'interés. A les senyals per a les quals açò sí és cert se'ls crida senyals de banda base, i no totes les senyals compartixen tal característica (per eixemple, les ones de radi en freqüència modulada).

Si el criteri no és satisfet, existiran freqüències el mostreig de les quals coincidix en atres (el cridat aliasing).

Qüestions d'interpretació freqüents en relació en la teorema i el procés de mostreig

• Una volta satisfets els criteris de Nyquist, la calitat de la reconstrucció d'una senyal en tota la seua banda, ya no es troba en funció de la taxa de mostreig amprada en el procés de mostreig. Açò és totalment cert des de la perspectiva matemàtica de la teorema i un error, una volta considerades les llimitacions pràctiques, en l'àmbit pràctic de la física o l'ingenieria. Aixina, una volta satisfets els criteris de Nyquist, no aporta res l'incrementar la taxa de mostreig una volta que esta complix el criteri de Nyquist. És dir, matemàticament, l'informació necessària per a la seua reconstrucció total existirà des de que la taxa complixca eixe criteri -sempre i quan no existixca un atre factor com la quantificació-. D'esta manera, per eixemple, la reconstrucció d'una senyal periòdica en components de fins a 10 kHz és idèntica tant si s'obté d'una taxa de mostreig de 25000 mostres per segon com d'una de 50000 mostres per segon.
• El procés de mostreig no deu ser confòs en el de quantificació, que redoneja els valors obtinguts pel mostreig per al seu posterior codificació (generalment en binario) i que, per tant, pot provocar distorsió. El mostre és, des del punt de vista matemàtic, perfectament reversible una volta complit el criteiro de Nyquist, és dir, la seua reconstrucció 'per es' és exacta, no aproximada. La quantificació, pel contrari, supon una simplificació per mig de grosseig o aproximació dels valors de mostreig de la senyal analògica, que a penes podran revertir-se per mig de tècniques de modelació de soroll a fi d'alterar selectivament la distorsió conseqüència del procés de quantificació en senyals completament digitalisades, és dir, muestreadas, quantificades i codificades.

És un error creure que els punts que resulten del procés de mostreig s'unixen en la reconstrucció per mig de rectes, també denominada interpolació llineal. Açò formaria dents de serra en la senyal obtinguda, representades per mostres en una freqüència de valors discrets sempre menor a la continuïtat analògica. Pel contrari, el procés de càlcul de l'interpolació es realisa de manera predictiva. La teorema de mostreig demostra que tota l'informació d'una senyal continguda en l'interval temporal entre dos mostres qualssevol, està descrita per la série total de mostres, sempre que la senyal registrada siga de naturalea periòdica -com lo són les ones mecàniques del sò, o les ones electromagnètiques-, i no tinga components de freqüència igual o superior a la mitat de la taxa de mostreig; en el cas del qual no serà necessari predir l'evolució de la senyal entre mostres per a obtindre la representació contínua de la senyal.

• En la pràctica, i ya que no existixen els filtres analògics passa-baix ideals, es deu deixar un marge entre la freqüència màxima que es desija registrar, i la freqüència crítica de Nyquist que resulta de la taxa de mostreig triada. Per eixemple, para CD-Àudio la freqüència màxima dels components a registrar i reproduir és de 20 kHz i la freqüència crítica de la taxa de 44100 mostres per segon amprada és de 22,05 kHz; un marge del 10% aproximadament per a esta aplicació. No obstant, este marge és una necessitat que resulta de les llimitacions físiques d'un filtre de reconstrucció o antialiasing que utilisem, i no una consideració contemplada per la teorema de Nyquist-Shannon, que a penes pretén establir el marc teòric-matemàtic del processament digital de senyals. En ocasions s'ampren tècniques de sobremuestreo per a la reconstrucció d'una senyal en l'objecte d'aumentar artificialment este marge i permetre l'us de filtres de fase llineal (retardo de grup constant) en la banda pasante, els quals són generalment més senzills i econòmics, i presenten pendents d'atenuació més suaus. En tot cas, tant el marge com l'us de tècniques de sobremuestreo són recursos d'ingenieria per a tractar restriccions pràctiques, que en res invaliden el resultat i contingut d'esta teorema. La teorema és, de fet, el marc analític ideal sobre el que les restriccions reals no ideals deuen ser estudiades.

Nous formats

L'aparició recent de nous formats d'àudio (denominats freqüentment formats d'alta resolució) per a usuari final que contenen senyals muestreadas en taxes més elevades a l'empleada en els CD d'àudio han contribuït a estendre l'idea errònea de que la calitat en la reconstrucció d'una senyal en tota la seua banda (fins a la freqüència crítica) és funció directa de la taxa de mostreig amprada. La qual cosa nos faria pensar que la calitat de el SACD és innecessària per ser imperceptible, cosa que inclús l'indústria no està disposta a assumir en modo algun i que una escolta comparada d'abdós formats s'encarrega de desmentir. És una diferència audible notable i la raó del naiximent de l'àudio d'alta resolució.

Els nous formats d'àudio que recentment han aparegut (encara que en escàs èxit comercial) que ampren Modulació per impulsos codificats (PCM) sense pèrdua per compressió en taxes de mostreig més altes a les empleades en el CD d'àudio, (DVD-Àudio, per eixemple) per a registrar i reproduir senyals d'idèntic ample de banda es justifiquen perque permeten l'ocupació de filtres de reconstrucció més benignos, senzills i econòmics sacrificant un recurs cada volta més econòmic i de menor transcendència (la capacitat d'almagasenament, un recurs crític en el passat) i perque, ademés, satisfan simultàneament les expectatives d'un mercat com el audiófilo, caracterisat per dogmes entre els que es troba molt estesa la falsa creència de que açò representa una millora en la calitat de la senyal reconstruïda (en particular, dels seus components d'alta freqüència). Este error és només una conseqüència d'una clara incomprensió de l'alcanç i significat de la teorema de mostreig i d'establir comparacions falaces com, per eixemple, en la digitalisació d'imàgens (a on no es realisa la reconstrucció d'una senyal periòdica), etc.

L'elevada taxa de mostreig d'un atre format d'àudio de recent aparició, el SACD o Super Àudio CD, és una conseqüència de l'us d'una tecnologia denominada comercialment Direct Stream Digital™ (DSD) basada en un tipo de codificació digital denominat Modulació per densitat d'impulsos (PDM). Si be la taxa de mostreig és 64 voltes la de el CD-Àudio, és necessari tindre present que es tracta d'una quantificació d'1 bit (en lloc dels 16 empleats en el CD-Àudio) i basat en tècniques de modelació de soroll. No és possible, per tant, establir comparacions superficials en el PCM de CD-Àudio o DVD-Àudio (abdós PCM), ya que en este cas la relació senyal-soroll no és constant respecte de la freqüència (en CD-Àudio el soroll de quantificació és independent de la freqüència i només depén dels intervals d'amplitut amprats en el procés de quantificació, és dir, és d'uns 98,09 dB constants per als 16 bits d'este estàndart CD-Àudio en tot l'espectre útil). Un SACD pot registrar i reproduir senyals en components de fins a 33 kHz en una relació senyal-soroll equivalent al d'un CD-Àudio i mantindre una relació senyal-soroll d'aproximadament 122 dB per a l'espectre audible.

Entre les ventages objectives d'estos formats (DVD-Àudio i SACD) es troba la gravació d'àudio multicanal i la capacitat per a l'ocupació de tècniques de protecció de còpia, tema d'interés per a les companyies discogràfiques i, provablement, l'autèntica justificació industrial i comercial d'estos productes junt en l'evident benefici resultant de la substitució de tots els equips reproductors i gravadors del món.

S'han publicat treballs experimentals rigorosos que conclouen que no existixen diferències audibles entre els formats d'alta resolució i el tradicional soport d'àudio digital CD-Àudio i, inclús, també s'ha demostrat que són indistinguibles, en calitat d'àudio, entre sí els formats d'alta resolució SACD i DVD-Àudio.

Vore també

• Audiófilo
• Conversió analògica-digital
• Conversió digital-analògica
• Quantificació digital
• Freqüència de mostreig
• Mostreig digital
• Ona periòdica
• Oscilador harmònic
• Soroll de quantificació
• Série de Fourier
• Taxa de Nyquist
• Transformada de Fourier

Referències

Bibliografia

• Transactions of the A. I. E. E..47

617-644.Consultat el 6 d'abril de 2017.

• ^{[enllaç trencat]}