Teorema de Saint-Venant

Es coneix com a teorema de Saint-Venant a l'afirmació:

La secció simplement conexa en resistència a la torsió mecànica màxima és un círcul.

La teorema honra la memòria del matemàtic i mecànic francés Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant (1797 – 1886).

Conceptes previs

Archiu:Twisted bar.png

Descripció d'una barra de secció quadrada somesa a esforços de torsió

En mecànica de sòlits deformables, és habitual utilisar el model de voltó o barra, a on una dimensió és molt major que les atres dos. Aixina, és possible calcular en funció de la coordenada X, relacionant les càrregues mecàniques en propietats del material i la secció perpendicular a dita direcció preferent.

Quant major siga la secció, menors seran les deformacions davant una càrrega donada. No obstant, no importa només el valor absolut del àrea geomètrica, sino també la seua distribució (moment d'inèrcia). D'eixa forma es falca el concepte ingenieril de rigidea. Aixina, un problema típic del càlcul d'estructures busca calcular la forma i posició d'una secció que minimise l'àrea (i per tant el material amprat) en soportar uns determinats esforços.

La teorema de Saint-Venant enuncia la configuració òptima per a un voltó massiç (sense buits), que soporta esforços de torsió.

Descripció formal

Donat un domini simplement conexo D en un pla en àrea A, ràdio $\rho$ i sent $\sigma$ l'àrea del seu major círcul inscrit, podem definir la rigidea torsional P de D per mig de;

$P=4\underset{f}{\sup }\frac{{(\int \underset{D}{\int }fdxdy)}^2}{\int \underset{D}{\int }{f}_x^2+f_y^{2}dxdy}$.

A on el suprem es pren per mig de càlcul variacional sobre totes les possibles funcions diferenciables que tenen com a contorn D. L'existència de dit suprem es pot demostrar com a conseqüència de la desigualtat de Poincaré.

Saint-Venant conjeturó en 1856 que de tots els dominis possibles D d'igual àrea A, el círcul era el que tenia una major rigidea torsional, és dir:

$P\le P_{\text{circle}}\le \frac{A^2}{2\pi }$.

Una prova rigorosa de dita desigualtat no es va obtindre fins a 1948 per part de Pólya. Una atra demostració d'esta teorema va ser donada per Davenport. La prova més general i l'estimació

$P<4{\rho }^{2}A$

va ser donada per Makai.