Desigualtat de Poincaré

En matemàtiques, la desigualtat de Poincaré és un resultat en la teoria dels espais de Sóbolev, que du el nom del matemàtic francés Henri Poincaré. La desigualtat permet obtindre llímits en una funció per mig de llímits en les seues derivades i la geometria de la seua domini de definició. Tals llímits són de gran importància en els moderns métodos directes del càlcul de variacions. Un resultat molt estretament relacionat és la desigualtat de Friedrichs.

Enunciació de la desigualtat

La desigualtat de Poincaré clàssica

Siga p, tal que 1≤p<∞ i Ω un subconjunt en a lo manco una vora. Llavors existix una constant C, depenent només de Ω i p , tal que per a cada funció o del Espai de Sóbolev W₀^1,p(Ω) es té:

$\Vert u{\Vert }_{L^p(\Omega )}\le C\Vert \mathrm{\nabla }u{\Vert }_{L^p(\Omega )},$

La desigualtat de Poincaré-Wirtinger

Assumint que 1 ≤ p ≤ ∞ i que Ω és a subconjunt obert acotat i conexo del espai euclídeo n-dimensional Rⁿ en un domini de Lipschitz. Llavors existix una constant C, dependent sol de Ω i p, tal que per a funció o en l'espai de Sóbolev W^1,p(Ω) es té:

$\Vert u-u_{\Omega }{\Vert }_{L^p(\Omega )}\le C\Vert \mathrm{\nabla }u{\Vert }_{L^p(\Omega )},$

a on

$u_{\Omega }=\frac{1}{|\Omega |}\underset{\Omega }{\int }u(y)\mathrm{d}y$

és el valor mig de o sobre Ω, en |Ω| representant la mida de Lebesgue del domini Ω. Quan Ω és una bola, la desigualtat superior és cridada una (p,p)-desigualtat de Poincaré; per a dominis més generals Ω, es coneix com a desigualtat de Sóbolev.

Generalisacions

En el context d'espais mètrics, estos espais soportanuna (q,p)-desigualtat de Poincaré per a $1\le q,p<\mathrm{\infty }$ si hi ha constants C i $\lambda \ge 1$ de modo que per a cada bola B en tal espai es té lo següent:

$\mu (B{)}^{-1/q}\Vert u-u_B{\Vert }_{L^q(B)}\le C\text{rad}(B)\mu (B{)}^{-1/p}\Vert \mathrm{\nabla }u{\Vert }_{L^p(\lambda B)}.$

En el context d'espais mètrics, $|\mathrm{\nabla }u|$ és el mínim p-dèbil gradient superior d'o en el sentit de Heinonen i Koskela [J. Heinonen and P. Koskela, Quasiconformal maps in metric spaces with controlled geometry, Acta Math. 181 (1998), 1–61]

Existixen atres generalisacions de la desigualtat de Poincaré en atres espais de Sóbolev. Per eixemple, el següent (Garroni y Müller (2005)) és una desigualtat de Poincaré per a l'espai de Sóbolev H^1/2(T²), és dir, l'espai de funcions o en l'espai L² del bou T² en la transformada de Fourier û satisfent:

$[u{]}_{H^{1/2}({𝐓}^2)}^2=\sum _{k\in {𝐙}^2}|k||\hat{u}(k){|}^2<+\mathrm{\infty }$

existix una constant C tal que per a cada o ∈ H^1/2(T²) en o identicamente zero en un obert I ⊆ T2 es té:

$\underset{{𝐓}^2}{\int }|u(x){|}^2\mathrm{d}x\le C(1+\frac{1}{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}(E\times \{0\})})[u{]}_{H^{1/2}({𝐓}^2)}^2,$

a on cap(I &xD7; {0}) denota la capacitat harmònica de I &xD7; {0} quan es veu com un subconjunt de R³.

La constant de Poincaré

La constant òptima C en la desigualtat de Poincaré és algunes voltes coneguda com la constant de Poincaré per al domini Ω. Determinar la constant de Poincaré és, en general, una tasca molt difícil que depén tant de p com de la gemometría del domini Ω. Encara que en alguns casos és tractable.

Vore també

• Desigualtat de Friedrichs