Teorema de periodicitat de Bott

En matemàtiques, la teorema de periodicitat de Bott descriu una periodicitat en els grups de homotopía d'els grups clàssics, descobert per Raoul Bott.

La periodicitat de Bott pot formular-se de numeroses maneres, i la periodicitat en qüestió sempre apareix com un fenomen de periodo 2 sobre la dimensió per a la teoria associada al grup unitari.

Existixen fenomens corresponents del periodo 8 per a les teories coincidentes, la teoria KO (real) i la teoria KSp (cuaterniónica), associades al grup ortogonal real i al grup simpléctico cuaterniónico, respectivament.

Declaració de resultat

Bott va demostrar que si $O(\mathrm{\infty })$ és definit com a llímit directe dels grups ortogonals, llavors els seus grups de homotopía són periòdics:

i els primers 8 grups de homotopía són els següents:

$\begin{array}{cc}{\pi }_0(O(\mathrm{\infty }))& \simeq {\mathbb{Z}}_2\\ {\pi }_1(O(\mathrm{\infty }))& \simeq {\mathbb{Z}}_2\\ {\pi }_2(O(\mathrm{\infty }))& \simeq 0\\ {\pi }_3(O(\mathrm{\infty }))& \simeq \mathbb{Z}\\ {\pi }_4(O(\mathrm{\infty }))& \simeq 0\\ {\pi }_5(O(\mathrm{\infty }))& \simeq 0\\ {\pi }_6(O(\mathrm{\infty }))& \simeq 0\\ {\pi }_7(O(\mathrm{\infty }))& \simeq \mathbb{Z}\end{array}$

Context i significat

El context de la periodicitat de Bott radica que els grups de homotopía d'esferes, que s'esperaria que eixercitaren el paper fonamental en la topología algebraica per analogia en la teoria d'homologia, han resultat difícils de comprendre (i la teoria és complexa).

El tema de la teoria de homotopía estable es va concebre com una simplificació, introduint l'operació de suspensió (producte de aplastamiento en un círcul) i observant qué quedava (a grans traces) de la teoria de homotopía una volta permés suspendre abdós costats d'una equació tantes voltes com es desijara.

La periodicitat de Bott va oferir una perspectiva d'alguns espais altament no trivials, en un estatus central en topología per la conexió de la seua cohomología en classes característiques, per als quals es varen poder calcular tots els grups de homotopía (inestables). Estos espais són els grups unitaris, ortogonals i simplécticos (infinits o estables) O, O i Sp. En este context, estable es referix a prendre l'unió O (també coneguda com el llímit directe) de la seqüència d'inclusions:

$U(1)\subset U(2)\subset \cdots \subset U=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}U(k)$

i de manera similar para O i Sp. Note's que l'us que fa Bott de la paraula estable en el títul del seu artícul fonamental es referix a estos grups clàssics estables i no a grups de homotopía estables.

Referències

• . An expository account of the theorem and the mathematics surrounding it.

• Milnor, J. (1969). Morse Theory, Princeton University Press. ISBN 0-691-08008-9.
• Baez. «Week 105». This Week's Finds in Mathematical Physics.