Teorema dels tres intervals

En matemàtiques, la teorema dels tres intervals (també cridada teorema de les tres distàncies o conjectura de Steinhaus) afirma que si es coloquen n punts en una circumferència, en ànguls de θ, 2θ, 3θ, … des del punt inicial, llavors hi haurà com a màxim tres distàncies distintes entre parells de punts en posicions adjacents al voltant de la circumferència. Quan hi ha tres distàncies, la major de les tres sempre és igual a la suma de les atres dos. A menos que θ siga un múltiple racional de π, també hi haurà a lo manco dos distàncies distintes.

Este resultat va ser conjeturado per Hugo Steinhaus i demostrat en la década de 1950 per Vora T. Sós, János Surányi i Stanisław Świerczkowski; posteriorment es varen afegir més demostracions per atres autors. Les aplicacions de la teorema dels tres intervals inclouen l'estudi del creiximent de les plantes i els sistemes de afinación musical, i la teoria de la reflexió de la llum dins d'un quadrat espejado.

Enunciat

La teorema dels tres intervals pot enunciar-se geomètricament en térmens de punts sobre una circumferència. En esta forma, afirma que si es coloquen $n$ punts en una circumferència, en ànguls de $\theta ,2\theta ,\mathrm{...}n\theta$ des del punt inicial, llavors hi haurà com a màxim tres distàncies distintes entre parells de punts en posicions adjacents al voltant de la circumferència. Una forma equivalent i més algebraica involucra les parts fraccionarias de múltiples d'un número real. Afirma que, per a qualsevol número real positiu $\alpha$ i sancer $n$ , les parts fraccionarias dels números $\alpha ,2\alpha ,\mathrm{...},n\alpha$ dividixen l'interval unitari en subintervalos en com a màxim tres llongituts diferents. Els dos problemes són equivalents baixe una correspondència llineal entre l'interval unitari i la circumferència de la circumferència, i una correspondència entre l'número real $\alpha$ i l'àngul àngul $\theta =2\pi \alpha$.

Aplicacions

Creiximent de les plantes

Archiu:Phyllotaxis golden angle.svg

Vista de front d'un talle de planta en el que els fulls consecutius estan separades pel àngul áureo

En l'estudi de la filotaxis, les disposicions dels fulls en els brots de les plantes, s'ha observat que cada full successiu en els brots de moltes plantes gira respecte a l'anterior pel àngul áureo, aproximadament 137,5°. S'ha sugerit que este àngul maximizar el poder de captació de llum solar dels fulls de la planta. Si s'observa de front un talle de planta que ha creixcut d'esta manera, hi haurà com a màxim tres ànguls distints entre dos fulls que són consecutives en l'orde cíclico dau per esta vista frontal.

Archiu:Sunflower spiral.png

Punts espayats segons l'àngul áureo a lo llarc d'una espiral de Fermat (centre) estan més uniformemente espayats que per a atres ànguls.

Per eixemple, en la figura, el major d'estos tres ànguls apareix tres voltes, entre els fulls numerats 3 i 6, entre els fulls 4 i 7, i entre els fulls 5 i 8. El segon àngul major apareix cinc voltes, entre els fulls 6 i 1, 9 i 4, 7 i 2, 10 i 5, i 8 i 3. I l'àngul més chicotet apareix solament dos voltes, entre els fulls 1 i 9 i entre els fulls 2 i 10. El fenomen de tindre tres tipos d'intervals distints depén solament del fet de que el patró de creiximent utilisa un àngul de rotació constant, i no de la relació d'este àngul en el número áureo; el mateix fenomen ocorreria per a qualsevol atre àngul de rotació, i no solament per a l'àngul áureo. No obstant, atres propietats d'este patró de creiximent sí depenen del número áureo. Per eixemple, el fet de que el número áureo siga un número mal aproximable implica que els punts espayats en este àngul a lo llarc de l'espiral de Fermat (com ocorre en alguns models de creiximent vegetal) formen un conjunt de Delone; intuitivamente, açò significa que estan uniformemente espayats.

Teoria musical

Archiu:Pythagorean tuning geometric.svg

Tons de l'afinación pitagórico com a punts del círcul cromàtic. Les vores indiquen les quintes perfectes usades per a construir la afinación; les dos llongituts d'interval més llargues entre punts consecutius representen semitonos, i l'interval curt a on el dodecagrama no es tanca és el menge pitagórico.

En la teoria musical, un interval musical descriu la raó en freqüència entre dos tons musicals. Els intervals es consideren comunament consonants o harmònics quan són la raó de dos sancers menuts; per eixemple, l'octava correspon a la raó 2:1, mentres que la quinta perfecta correspon a la raó 3:2. Dos tons es consideren equivalents quan diferixen per un número entero d'octaves; esta equivalència pot representar-se geomètricament pel círcul cromàtic, els punts del qual representen classes de tons equivalents. Matemàticament, este círcul pot descriure's com el círcul unitari en el pla complex, i el punt en este círcul que representa un to donat s'obté mapeando la freqüència

$\nu$

a l'número complejo

$\exp (2\pi ı{\log }_{2\nu )}$

. Un interval en raó

$\rho$

correspon a l'àngul

$(2\pi {\log }_{2\rho )}$

entre punts en este círcul, lo que significa que dos tons musicals diferixen per l'interval donat quan els seus dos punts en el círcul diferixen per este àngul. Per eixemple, esta fòrmula dona

$2\pi$

(una circumferència completa) com l'àngul corresponent a una octava. Com 3/2 no és una racional potència de dos, l'àngul en el círcul cromàtic que representa una quinta perfecta no és un múltiple racional de

$2\pi$

, i de manera similar atres intervals musicals comuns distints de l'octava no corresponen a ànguls racionals.

Un sistema de afinación és una colecció de tons usats per a compondre i tocar música. Per eixemple, el temperament igual comunament usat per al piano és un sistema de afinación, consistent en 12 tons espayats uniformemente al voltant del círcul cromàtic. Alguns atres sistemes de afinación no espacian els seus tons de manera uniforme, sino que els generen per mig d'algun número de múltiples consecutius d'un interval donat. Un eixemple és l'afinación pitagórico, que es construïx d'esta manera a partir de dotze tons, generats com els múltiples consecutius d'una quinta perfecta en el círcul de quintes. L'àngul irracional format en el círcul cromàtic per una quinta perfecta està prop de 7/12 de circumferència, i per tant els dotze tons de la afinación pitagórico estan prop de, pero no són iguals a, els dotze tons del temperament igual, que podrien generar-se de la mateixa manera usant un àngul d'exactament 7/12 de circumferència. En lloc d'estar espayats en ànguls d'exactament 1/12 de circumferència, com lo estarien els tons del temperament igual, els tons de la afinación pitagórico estan separats per intervals de dos ànguls diferents, propencs pero no exactament 1/12 de circumferència, que representen dos tipos diferents de semitonos. Si el sistema de afinación pitagórico s'estenguera per una quinta perfecta més, fins a un conjunt de 13 tons, llavors la seqüència d'intervals entre els seus tons inclouria un tercer interval molt més curt, el menge pitagórico.

En este context, la teorema dels tres intervals pot usar-se per a descriure qualsevol sistema de afinación que es genere d'esta manera per mig de múltiples consecutius d'un únic interval. Alguns d'estos sistemes de afinación (com el temperament igual) poden tindre solament un interval separant els parells de tons més propencs, i alguns (com la afinación pitagórico) poden tindre solament dos intervals diferents separant els tons, pero la teorema dels tres intervals implica que sempre hi ha com a màxim tres intervals diferents separant els tons.

Reflexió en espills

Archiu:Fibonacci word cutting sequence.png

En la paraula de Fibonacci, un eixemple de paraula de Sturm, hi ha quatre subsecuencias distintes de llongitut 3 (en orde d'esquerra a dreta): 010, 100, 001 i 101.

Una paraula de Sturm és una seqüència infinita de dos símbols (per eixemple, «H» i «V») que descriu la seqüència de reflexions horisontals i verticals d'un raig de llum dins d'un quadrat espejado, començant a lo llarc d'una recta de pendent irracional. Equivalentemente, la mateixa seqüència descriu la seqüència de rectes horisontals i verticals de la cuadrícula sancera que són creuades per la recta inicial. Una propietat que tenen totes estes seqüències és que, per a qualsevol sancer positiu n, la seqüència té exactament n + 1 subsecuencias consecutives distintes de llongitut n. Cada subsecuencia ocorre infinitament a sovint en una certa freqüència, i la teorema dels tres intervals implica que estes n + 1 subsecuencias ocorren en com a màxim tres freqüències distintes. Si hi ha tres freqüències, llavors la major deu ser igual a la suma de les atres dos. Una demostració d'este resultat implica particionar les interseccions en l'eix i de les rectes inicials (module 1) en n + 1 subintervalos dins dels quals els n elements inicials de la seqüència són els mateixos, i aplicant la teorema dels tres intervals a esta partició.

Vore també

• Conjectura del corredor solitari