Interval unitat

En un sistema de coordenades cartesianas s'han representat les curvas d'algunes raïls, aixina com de les seues potencies, en el interval unitari. La diagonal, d'equació i = x, és eix de simetria entre cada curva i la curva de la seua inversa.

En matemàtiques, el interval unitat o interval unitari és l'interval tancat [0,1], és dir, el conjunt de tots els número real que són majors o iguals que 0 i menors o iguals que 1. A sovint se li denota I. Té aplicacions en anàlisis de variable real i en l'estudi de la teoria de la homotopía en el camp de la topología.

A voltes es denota en la lliteratura per "interval unitat" qualsevol de les demés formes que pot prendre un interval comprés entre 0 i 1: (0,1], [0,1) i (0,1). No obstant, la notació I se sol reservar a l'interval tancat [0,1].

Propietats

L'interval unitat és un espai mètric complet, homeomorfo a la recta real estesa. Com espai topològic, és compacte, contraíble, conexo per camins i localment conexo per camins. El gaveta de Hilbert s'obté prenent un producte topològic d'una cantitat numerable de còpies de l'interval unitat.

En anàlisis matemàtic, l'interval unitat és una varietat en vora analítica unidimensional que la seua frontera consistix en els dos punts 0 i 1. La seua orientació estàndar és la que va de 0 a 1.

El conjunt unitat és un conjunt totalment ordenat i un retícul complet (cada subconjunt de l'interval unitat té suprem i ínfim).

Generalisacions

A voltes s'ampra el terme de "interval unitat" per a referir-se a objectes que eixerciten un paper en diverses branques de les matemàtiques de forma anàloga al que eixercita l'interval [0,1] en la teoria de la homotopía. Per eixemple, en la teoria dels grafos orientats, el (anàlec del) interval unitat és el grafo el conjunt del qual de vèrtiços és {0,1} i que conté una única aresta a l'orige de la qual és 0 i el destí de la qual és 1. Es pot llavors definir una noció d'homotopía entre els homomorfismes de grafos orientats anàloga a l'existent entre les funcions contínues.

Referències

• Robert G. Bartle, 1964, The Elements of Real Analysis, John Wiley & Sons.