Teoria de fluix potencial

Archiu:Vortex east.png

En un vórtice irrotacional, els fulls preservarien la seua orientació original mentres es mouen en sentit antihorario; pero ací, en un vórtice rotacional, giren en el fluix.

La teoria de fluix potencial pretén descriure el comportament cinemàtic dels decorreguts basant-se en el concepte matemàtic de funció potencial, assegurant que el camp de velocitats (que és un camp vectorial) del fluix d'un decorregut és igual al gradient d'una funció potencial que determina el moviment de dit decorregut:

$\overrightarrow{V}=-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\varphi$

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times (-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\varphi )=0$ el camp vectorial de velocitat $\overrightarrow{V}$ del fluix deu ser irrotacional per a descriure-ho com a fluix potencial òssea com a gradient de $\varphi$, el potencial de velocitat, la qual cosa succeïx fòra de la capa llimite.

a on el camp de velocitats queda definit com

$\overrightarrow{V}=u\hat{i}+v\hat{j}+w\hat{k}$

El signe menys en l'equació de dalt és només una convenció de signes sobre la definició de $\varphi$. $\varphi$ Pot definir-se sense el signe menys, i la formulació que s'obtindria seria la mateixa. A un decorregut que es comporta segons esta teoria se li denomina decorregut potencial, que dona lloc a un fluix potencial.

Una de les primeres persones en aplicar esta formulació per al fluix d'un decorregut va ser D'Alembert. Va estudiar la força de resistència produïda per un fluix de decorregut sobre un cos que s'oponia a est en dos dimensions quan la solució a este problema era completament desconeguda i Newton, a pesar d'haver-ho estudiat en definir la viscosidad i el decorregut newtoniano, no havia aplegat a conclusions satisfactòries.

D'Alembert va definir la funció de corrent, $\psi$, per a descriure la trayectòria que tinguera cada partícula d'un decorregut a través del temps. Esta funció corrent està determinada, en el pla, per dos variables espacials i per a cada valor de $\psi$ l'igualtat $\psi =\psi (x,y)$ determina un lloc geomètric cridat llínea de corrent.

La Naturalea de ψ i la seua relació en φ

Primerament definirem la funció corrent en el pla, per a després explicar les seues característiques. La funció $\psi$ es definix com aquella que complix en les següents condicions:

$\frac{\partial \psi }{\partial y}=u$ i $\frac{\partial \psi }{\partial x}=-v$

Les llínees de corrent determinen la trayectòria d'una partícula de decorregut que es troba sobre estes. Aixina, per eixemple, si una partícula de decorregut es troba sobre la llínea equipotencial de $\psi =3$, tindrà una trayectòria que se situarà exactament sobre el lloc geomètric que determinarà l'igualtat $\psi (x,y)=3$ (llínea de corrent=trayectòria es deu a que contemplem un moviment pla independent de t "ψ(x,i)"). Esta propietat de les llínees de corrent exigix que les funcions $\psi$ i $\varphi$ estiguen "sincronisades", ya que la velocitat en qualsevol punt del fluix de decorregut serà sempre tangente a la trayectòria de la llínea de corrent. Fàcilment es pot demostrar que la família de curves determinades per la funció corrent i la funció potencial de velocitats formen una ret ortogonal, com es vorà a continuació:

Partim del diferencial total de la funció $\varphi$:

$d\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial x}dx+\frac{\partial \varphi }{\partial y}dy$

Aixina en qualsevol curva equipotencial $\varphi =\text{constante}$ es complirà que

$\frac{\partial \varphi }{\partial x}dx+\frac{\partial \varphi }{\partial y}dy=0$

Açò implica que:

${\left(\frac{dy}{dx}\right)}_{\varphi =cte}=\frac{-u}{v}$

La mateixa propietat s'aplica a cada llínea de corrent:

$\frac{\partial \psi }{\partial x}dx+\frac{\partial \psi }{\partial y}dy=0$

i

${\left(\frac{dy}{dx}\right)}_{\psi =cte}=\frac{v}{u}$

per la qual cosa de determina que:

${\left(\frac{dx}{dy}\right)}_{\psi =cte}=-{\left(\frac{dy}{dx}\right)}_{\varphi =cte}$

Esta propietat d'abdós funcions permet intercanviar-les per a generar atres patrons de fluix i, com les llínees de corrent no poden tallar-se entre sí, no existix cap cabal que les travessa perpendicular a estes. Açò permet supondre a les llínees de corrent llímits materials, és dir, parets o obstàculs que restringixen o determinen el fluix que es desija estudiar. Açò ya ho va supondre D'Alembert en estudiar l'efecte d'espente d'un fluix corrent sobre un objecte que ho obstaculisa. Estudiant les propietats de la funció corrent i la funció potencial va determinar que podien superpondre's per a generar aixina un patró de decorregut que combinara diversos moviments. Superponent una font i un sumidero d'igual cabal va obtindre una circumferència, que va combinar en un fluix uniforme per a modelar el fluix de decorregut sobre un cilindre de llongitut infinita. Una volta obtingut açò, va demostrar que la suma de les pressions sobre el cilindre s'anulaven, lo que feya que la força resultant sobre el cilindre fora zero. Esta és la cridada paradoxa de D'Alembert.

Alguns patrons de fluix simple

Fluix uniforme

Un fluix el qual siga uniforme en una mateixa direcció complix en que $\overrightarrow{V}=U_0\hat{n}$ a on $\hat{n}$ és la direcció del fluix. Si prenem esta direcció com la de l'eix $x$, obtindrem que el camp de velocitats estarà donat per:

$\overrightarrow{V}=U_0\hat{i}$

En la qual cosa podrem trobar la funció potencial integrant:

$\varphi =-\int U_{0}dx+f(y)$

Sabent que $\frac{\partial \varphi }{\partial y}=0$ i que no existix component vertical de la velocitat en cap punt del fluix tenim:

$\varphi =-\int U_{0}dx+C_1$

En esta equació podem prendre la constant d'integració igual a zero. Quedant les funcions potencial i corrent com:

$\mathrm{\varphi }=-U_{0}x$

$\psi =-U_{0}y$

Fonts i sumideros

Una font o un sumidero d'algun decorregut té la particularitat de que el fluix només ix o entra, lo que implica que el vector velocitat per a cada punt del fluix serà colineal a l'orige per a abdós casos. És molt més senzill trobar esta funció potencial usant coordenades polars. Aixina:

$v_r=\frac{Q}{2\pi r}$

$v_{\theta }=0$

A on $Q$ és el cabal que ix si és positiu o entra si és negatiu. Per a trobar la funció potencial integrem:

$-\varphi =\int \frac{Q}{2\pi r}dr+f(\theta )$

Com la velocitat en $\theta$ és igual a zero només queda una constant d'integració la qual podem fer zero; llavors:

$\varphi =-\frac{Qln(r)}{2\pi }$

Per a obtindre la funció corrent podem realisar un procediment anàlec considerant la forma de l'operador gradient en coordenades polars:

$-\frac{1}{r}\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=\frac{Q}{2\pi r}$

$\int \frac{Q}{2\pi }d\theta =-\psi +f(r)$

llavors:

$\psi =\frac{Q}{2\pi }\theta$

Vórtice irrotacional

La funció de potencial per a un vórtice irrotacional queda definida per:

$\varphi =\frac{\Gamma }{2\pi }\theta$

Mentres que la funció de corrent queda definida per:

$\psi =\frac{\Gamma }{2\pi }\ln (r)$

a on $\Gamma$ és la força del vórtice en la circulació sobre l'orige.

Doblet

Definint un doblet com una font i un sumidero separats per una distància infinitesimal, la funció potencial és:

$\varphi =-\frac{\mu \cos \theta }{r}$

Mentres que la funció de corrent queda definida per:

$\psi =-\frac{\mu \mathrm{sen}\theta }{r}$

a on $\mu$ és la magnitut del doblet en direcció $-x$.

Vore també

• Divergència
• Rotacional