Topología de caixa

En topología, el producte cartesiano d'espais topològics pot rebre vàries topología diferents. Una de les opcions més naturals és la topología de caixa, a on una base està donada pels productes cartesianos de conjunts oberts en els espais components. Una atra possibilitat és la topología producte, a on una base també està donada pels productes cartesianos de conjunts oberts en els espais components, pero solament un número finito d'ells pot ser distintodel espai component complet.

Encara que la topología de caixa té una definició alguna cosa més intuïtiva que la topología producte, satisfà menys propietats desijables. En particular, si tots els espais components són compactes, la topología de caixa en el seu producte cartesiano no serà necessàriament compacta, encara que la topología producte en el seu producte cartesiano sempre serà compacta. En general, la topología de caixa és més fina que la topología producte, encara que abdós coincidixen en el cas de productes directes finitos (o quan tots els factors menys un número finito d'ells són trivials).

Definició

Donat $X$ tal que

$X:=\prod _{i\in I}{X}_i,$

o el producte cartesiano (possiblement infinit) dels espais topològics $X_i$, indexats per $i\in I$, la topología de caixa en $X$ és generada per la base

$ℬ=\{\prod _{i\in I}{U}_i\mid U_i\text{ open in }{X}_i\}.$

El nom caixa prové del cas de Rⁿ, en el que els conjunts base s'assemblen a caixes. El conjunt $\prod _{i\in I}{X}_i$ dotat de la topología de caixa a voltes es denota per $\underset{i\in I}{◻}{X}_i.$