Triàngul de Brahmagupta

Archiu:BrahmaguptaTriangle.png

Triàngul de Brahmagupta, en el que $x_n$ i $y_n$ són sancers que satisfan l'equació $x_n^2-3y_n^2=1$

Un triàngul de Brahmagupta és aquell els costats del qual tenen llongituts sanceres consecutives i la seua àrea també és un número entero positiu. Per eixemple, el triàngul els costats del qual medixen 3, 4 i 5 és un triàngul de Brahmagupta, de la mateixa manera que el triàngul els costats del qual medixen 13, 14 i 15. El triàngul de Brahmagupta és un cas especial del triàngul heroniano, que es caracterisa perque els seus costats i àrea són tots número entero positius, encara que les llongituts dels costats no necessàriament tenen que ser consecutives. Un triàngul de Brahmagupta rep este nom en honor a l'astrònom i matemàtic indi Brahmagupta (c. 598 - c. 668 d. C.), qui va proporcionar una llista dels primers huit triànguls d'este tipo sense explicar el método que va utilisar per a calcular-la.

Un triàngul de Brahmagupta també es denomina triàngul de Fleenor-Heroniano en honor a Charles R. Fleenor, qui va analisar el concepte en un artícul publicat en 1996. Atres noms en els que es coneixen els triànguls de Brahmagupta són triàngul superheroniano i triàngul heroniano casi equilátero.

El problema de trobar tots els triànguls de Brahmagupta és un problema antic. Reinhold Hoppe va trobar una solució analítica en 1880.

Generació de triànguls de Brahmagupta

Siguen les llongituts dels costats d'un triàngul de Brahmagupta $(t-1)$, $t$ i $(t+1)$, a on $t$ és un número entero major que 1. Usant la fòrmula de Herón, es pot demostrar que l'àrea $A$ del triàngul és:

$$A=\frac{t}{2}\sqrt{3({\left(\frac{t}{2}\right)}^2-1)}$$

Ya que $A$ deu ser un número entero, $t$ deu ser parell, per lo que es pot prendre com $t=2x$, a on $x$ és un número entero. Per lo tant,

$$A=x\sqrt{3(x^2-1)}$$

Ya que $\sqrt{3(x^2-1)}$ deu ser un número entero, deu existir $x^2-1=3y^2$ per a algun sancer $y$. Per lo tant, $x$ deu satisfer la següent equació diofántica:

$$x^2-3y^2=1.$$

Est és un eixemple de la denominada equació de Pell $(x^2-N{y}^2=1)$, en $N=3$. Els métodos per a resoldre l'equació de Pell es poden aplicar per a trobar els valors dels sancers $x$ i $y$.

Òbviament, $(x=2)$ i $(y=1)$ són solucions de l'equació $(x^2-3y^2=1)$. Prenent com a solució inicial $(x_1=2)$ i $(y_1=1)$, el conjunt de totes les solucions $\{(x_n,y_n)\}$ de l'equació es pot generar per mig de les següents relacions de recurrencia:

$$\begin{array}{cccccc}& x_{n+1}=2x_n+3y_n,& & y_{n+1}=x_n+2y_n,& & n=1,2,\dots \\ & x_1=2.& & y_1=1.\end{array}y$$

o per mig de les següents relacions en solucions inicials adicionals $x_2=7$ i $y_2=4$:

$$\begin{array}{cccccc}& x_{n+1}=4x_n-x_{n-1},& & y_{n+1}=4y_n-y_{n-1},& & n=2,3,\dots \\ & x_1=2,x_2=7.& & y_1=1,y_2=4.\end{array}$$

També es poden generar utilisant la següent propietat:

$$x_n+\sqrt{3}{y}_n={(x_1+\sqrt{3}{y}_1)}^n,n=1,2,\dots$$

Els següents són els primers huit valors de $x_n$ i $y_n$ i els corresponents triànguls de Brahmagupta:

n	1	2	3	4	5	6	7	8
xn	2	7	26	97	362	1351	5042	18817
in	1	4	15	56	209	780	2911	10864
Triàngul de Brahmagupta	3,4,5	13,14,15	51,52,53	193,194,195	723,724,725	2701,2702,2703	10083,10084,10085	37633,37634,37635

La successió $\{x_n\}$ és l'entrada Plantilla:OEIS en l'Enciclopèdia en llínea de seqüències sanceres (OEIS) i la successió $\{y_n\}$ és l'entrada Plantilla:OEIS.

Triànguls de Brahmagupta generalisats

En un triàngul de Brahmagupta, les llongituts dels costats formen una progressió aritmètica d'número entero en una diferència comuna 1. Un triàngul de Brahmagupta generalisat és un triàngul heroniano en el que les llongituts dels costats formen una progressió aritmètica d'número entero positius. Els triànguls de Brahmagupta generalisats es poden construir fàcilment a partir dels triànguls de Brahmagupta. Si $t-1,t,t+1$ són les llongituts dels costats d'un triàngul de Brahmagupta, llavors, per a qualsevol número entero positiu $k$, els número entero $k(t-1),kt,k(t+1)$ són les llongituts dels costats d'un triàngul de Brahmagupta generalisat que forma una progressió aritmètica en diferència comuna $k$. Hi ha triànguls de Brahmagupta generalisats que no es generen d'esta manera. Un triàngul de Brahmagupta generalisat primitiu és aquell en el que les llongituts dels costats no tenen un atre factor comú que 1.

Per a trobar les llongituts dels costats de tals triànguls, siguen les llongituts dels costats $t-d,t,t+d$ a on $t,d$ són número entero que satisfan $1\le d\le t$. Usant la fòrmula de Heron, es pot demostrar que l'àrea $A$ del triàngul és

$A=\left(\frac{b}{4}\right)\sqrt{3(t^2-4d^2)}$.

Per a que $A$ siga un número entero, $t$ deu ser parell i es pot prendre $t=2x$ com algun número entero. Açò fa que

$A=x\sqrt{3(x^2-d^2)}$.

Ya que, novament, $A$ té que ser un número entero, $x^2-d^2$ té que tindre la forma $3y^2$ per a algun número entero $y$. Per lo tant, per a trobar les llongituts dels costats dels triànguls de Brahmagupta generalisats, és necessari trobar solucions a la següent equació diofántica quadràtica homogénea:

$x^2-3y^2=d^2$

Es pot demostrar que totes les solucions primitives d'esta equació estan donades per

$\begin{array}{cc}d& =|m^2-3n^2|/g\\ x& =(m^2+3n^2)/g\\ y& =2mn/g\end{array}$

a on $m$ i $n$ són número entero positius cosins entre sí i $g=\text{mcd}(m^2-3n^2,2mn,m^2+3n^2)$ (el màxim comú divisor $\text{mcd}$).

Si es pren $m=n=1$, s'obté el triàngul de Brahmagupta $(3,4,5)$. Si es pren $m=2,n=1$ s'obté el triàngul de Brahmagupta $(13,14,15)$. Pero si es pren $m=1,n=2$ s'obté el triàngul de Brahmagupta generalisat $(15,26,37)$ que no es pot reduir a un triàngul de Brahmagupta.

Vore també

• Polinomis de Brahmagupta
• Quadrilàter cíclico