Polinomis de Brahmagupta

En àlgebra, els polinomis de Brahmagupta són una classe de polinomis associats a la matriu de Brahmagupta, que a la seua volta està associada a l'identitat de Brahmagupta. El concepte i la terminologia varen ser introduïts per E. R. Suryanarayan, de l'Universitat de Rhode Island en Kingston, en un artícul publicat en 1996. Estos polinomis posseïxen vàries propietats interessants i han trobat aplicacions en problemes de teselado i en el problema de determinar triànguls heronianos en els que les llongituts dels costats són sancers consecutius. Reben el seu nom del matemàtic indi del sigle VII Brahmagupta.

Definició

Identitat de Brahmagupta

l'identitat de Brahmagupta establix que, per a un número entero dau N, el producte de dos números de la forma xPlantilla:Sup – NyPlantilla:Sup és novament un número de la mateixa forma. Més precisament, es té que:

$$(x_1^2-N{y}_1^2)(x_2^2-N{y}_2^2)=(x_1{x}_2+N{y}_1{y}_2{)}^2-N(x_1{y}_2+x_2{y}_1{)}^2.$$

Esta identitat pot utilisar-se per a generar infinites solucions per a l'equació de Pell. També pot utilisar-se per a generar successivament millors aproximacions racionals per a raïls quadrades de sancers arbitraris.

Matriu de Brahmagupta

Si, per a un número real arbitrari t, es definix la matriu:

$$B(x,y)=\left[\begin{array}{cc}x& y\\ ty& x\end{array}\right]$$

Llavors, l'identitat de Brahmagupta pot expressar-se de la següent forma:

$$\det B(x_1,y_1)\det B(x_2,y_2)=\det (B(x_1,y_1)B(x_2,y_2))$$

La matriu B(x, i) es denomina «matriu de Brahmagupta».

Polinomis de Brahmagupta

Siga B= B(x, i) com es va indicar anteriorment. Llavors, per inducció, es pot observar que la matriu BPlantilla:Sup es pot escriure de la forma:

$$B^n=\left[\begin{array}{cc}{x}_n& y_n\\ t{y}_n& x_n\end{array}\right]$$

Ací, x_n i i_n són polinomis en x, i i t. Estos polinomis es denominen «polinomis de Brahmagupta». Els primers polinomis s'enumeren a continuació:

$$\begin{array}{cccc}{x}_1& =x& y_1& =y\\ x_2& =x^2+t{y}^2& y_2& =2xy\\ x_3& =x^3+3tx{y}^2& y_3& =3x^{2}y+t{y}^3\\ x_4& =x^4+6t^2{x}^2{y}^2+t^2{y}^4& y_4& =4x^{3}y+4tx{y}^3\end{array}$$

Propietats

Ací es resumixen algunes propietats elementals dels polinomis de Brahmagupta. Propietats més alvançades es discutixen en l'artícul de Suryanarayan.

Relacions de recurrencia

Els polinomis x_n i i_n satisfan les següents relacions de recurrencia:

$$\begin{array}{cc}{x}_{n+1}& =x{x}_n+ty{y}_n\\ y_{n+1}& =x{y}_n+y{x}_n\\ x_{n+1}& =2x{x}_n-(x^2-t{y}^2)x_{n-1}\\ y_{n+1}& =2x{y}_n-(x^2-t{y}^2)y_{n-1}\\ x_{2n}& =x_n^2+t{y}_n^2\\ y_{2n}& =2x_n{y}_n\end{array}$$

Expressions exactes

Els valors propis de B(x, i) són $x\pm y\sqrt{t}$ i els vectores propis corresponents són $[1,\pm \sqrt{t}{]}^{\mathrm{T}}.$ Per lo tant,

$$B[1,\pm \sqrt{t}{]}^{\mathrm{T}}=(x\pm y\sqrt{t})[1,\pm \sqrt{t}{]}^{\mathrm{T}}.$$

Es deduïx que

$$B^n[1,\pm \sqrt{t}{]}^{\mathrm{T}}=(x\pm y\sqrt{t}{)}^n[1,\pm \sqrt{t}{]}^{\mathrm{T}}.$$

Açò produïx les següents expressions exactes per a x_n i i_n:

$$\begin{array}{cc}{x}_n& =\frac{1}{2}[(x+y\sqrt{t}{)}^n+(x-y\sqrt{t}{)}^n]\\ y_n& =\frac{1}{2\sqrt{t}}[(x+y\sqrt{t}{)}^n-(x-y\sqrt{t}{)}^n]\end{array}$$

En expandir les potències en les expressions exactes anteriors usant el teorema del binomi i simplificant, s'obtenen les següents expressions per a x_n i i_n:

$$\begin{array}{cc}{x}_n& =x^n+t(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})x^{n-2}{y}^2+t^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{4})x^{n-4}{y}^4+\cdots \\ y_n& =n{x}^{n-1}y+t(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3})x^{n-3}{y}^3+t^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{5})x^{n-5}{y}^5+\cdots \end{array}$$

Casos especials

1. Si x= i= 1/2 i t= 5 són iguals, llavors, per a n > 0: $$2y_n=F_n$$ és la seqüència Successió de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... $$2x_n=L_n$$ és la successió de Lucas 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ...
2. Si es definix x= i= 1 i t= 2, llavors: $$x_n=1,1,3,7,17,41,99,239,577,\dots$$, que són els numeradors de la fracció contínua generalisada, que convergix a $\sqrt{2}$, i és també la successió de les semisumas dels números de Pell-Lucas consecutius. $$y_n=0,1,2,5,12,29,70,169,408,\dots$$, que és la seqüència dels números de Pell.

Equació diferencial

x_n i i_n són solucions polinòmiques de la següent equació en derivades parcials:

$$(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}-\frac{1}{t}\frac{{\partial }^2}{\partial y^2})U=0$$