Vector isótropo

Un con nul, en el que $q(x,y,z)=x^2+y^2-z^2$

En matemàtiques, donat un espai vectorial X en una forma quadràtica q associada (denotat com (X, q)), un vector isótropo (o també vector isotrópico) és un element x de X distint de zero, per al que q(x)= 0.

En la teoria de formes bilineales reals, formes bilineales definides i formes quadràtiques isótropo són distints. Es distinguixen perque solament per a este últim existix un vector nul distint de zero.

Un espai quadràtic (X, q) que té un vector nul es diu espai pseudoeuclídeo.

Un espai vectorial pseudoeuclídeo es pot descompondre (de forma no única) en dos espais ortogonals A i B, X= A + B, a on q és positiu-definit en A i negatiu-definit en B. El con nul, o con isótropo, de X consistix en l'unió d'esferes equilibrades:

$\bigcup _{r\ge 0}\{x=a+b:q(a)=-q(b)=r,a\in A,b\in B\}.$

El con nul és també l'unió de les dos rectes isótropo a través de l'orige.

Àlgebra dividides

Un àlgebra de composició en un vector nul és un àlgebra dividida.

En un àlgebra de composició (A, +, ×, *), la forma quadràtica és q(x) = x x*. Quan x és un vector nul, llavors no hi ha invers multiplicativo per a x i, ya que x ≠ 0, A no és un àlgebra de divisió.

En la construcció de Cayley-Dickson, les àlgebra dividides sorgixen en la série de números bicomplejos, bicuaterniones i bioctoniones, que utilisa el cos dels número complejo $ℂ$ com a base d'esta construcció de duplicació deguda a Leonard Eugene Dickson (1919). En particular, estes àlgebra tenen dos unitats imaginàries, que commuten de modo que el seu producte, quan s'eleva al quadrat, produïx +1:

$(hi{)}^2=h^2{i}^2=(-1)(-1)=+1.$ Llavors

$(1+hi)(1+hi{)}^{*}=(1+hi)(1-hi)=1-(hi{)}^2=0$ i llavors (1 + hi) és un vector nul.

Les subálgebras reals, els número complejo hiperbòlics, els cuaterniones dividits i els octoniones dividits, en els seus cons nuls que representen el seguiment de la llum dins i fòra de 0 ∈ A, sugerixen la topología de l'espai temps.

Eixemples

• Els vectores com de llum del espai-temps de Minkowski són vectores nuls.

• Els quatre bicuaterniones independentment llineals l= (1 + hi), n= (1 + hj), m= (1 + hk) i m^∗= (1 – hk) són vectores nuls; i {l, n, m, m^∗} pot servir com base per al subespacio utilisat per a representar l'espai-temps. Els vectores nuls també s'utilisen en l'enfocament del formalisme de Newman-Penrose per a varietats d'espai-temps.

En el mòdul de Verma d'un àlgebra de Lie hi ha vectores nuls.

Bibliografia

• Dubrovin, B. A. (1984). Modern Geometry: Methods and Applications, Springer, p. 50. ISBN 0-387-90872-2.

• Shaw, Ronald (1982). Linear Algebra and Group Representations (vol. 1), Academic Press, p. 151. ISBN 0-12-639201-3.
• Neville, E. H. (Eric Harold). Prolegomena to Analytical Geometry in Anisotropic Euclidean Space of Three Dimensions, Cambridge University Press, p. 204.