Cuaternión dividit

Multiplicació de cuaterniones dividits × 1 i j k 1 1 i j k i i −1 k −j j j −k 1 −i k k j i 1

En àlgebra abstracta, els cuaterniones dividits o cocuaterniones són una estructura algebraica introduïda en 1849 en este últim nom per l'advocat i matemàtic britànic James Cockle (1819-1895). Formen un àlgebra associativa de dimensió quatre sobre els número real.

Despuix de l'introducció en el XX de definicions sense coordenades d'anells i àlgebra, es va demostrar que l'àlgebra de cuaterniones dividits és isomorfa al anell de les matrius reals d'orde 2×2. Per lo tant, l'estudi dels cuaterniones dividits pot reduir-se a l'estudi de matrius reals, lo que pot explicar per qué hi ha poques mencions als cuaterniones dividits en la lliteratura matemàtica dels sigles XX i XXI.

Definició

Els cuaterniones dividits són les combinacions llineals (en coeficients reals) de quatre elements bàsics 1, i, j, k que satisfan les següents regles del producte:

i²= −1,

j²= 1,

k²= 1,

ij= k= −ji.

Per la propietat associativa, estes relacions impliquen que

jk= −i= −kj,

ki= j= −ik,

i també ijk= 1.

Llavors, els cuaterniones dividits formen un espai vectorial de dimensió quatre en Plantilla:Mset com base. També formen un anell no conmutativo, en estendre les regles del producte anteriors per mig de distributividad a tots els cuaterniones dividits.

Consideren-se les matrius quadrades

$\begin{array}{cc}1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),& 𝒊=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right),\\ 𝒋=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),& 𝒌=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).\end{array}$

Estes matrius satisfan la mateixa taula de multiplicar que els cuaterniones dividits corresponents. Com estes matrius formen una base de les matrius de dos per dos, la funció llineal única que assigna 1, i, j, k a $1,𝒊,𝒋,𝒌$ (respectivament) induïx un àlgebra isomorfa dels cuaterniones dividits a les matrius reals de dos per dos.

Les regles de multiplicació anteriors impliquen que els huit elements 1, i, j, k, −1, −i, −j, −k formen un grup baix esta multiplicació, que és isomorfo sobre el grup diédrico D₄, el grup de simetria d'un quadrat. De fet, si es considera un quadrat els vèrtiços del qual són els punts les coordenades dels quals són 0 o 1, la matriu $𝒊$ implica la rotació horària d'un quarto de regrés, $𝒋$ és la simetria al voltant de la primera diagonal i $𝒌$ és la simetria al voltant de l'eix x.

Propietats

De la mateixa manera que els cuaterniones introduïts per Hamilton en 1843, formen un àlgebra associativa real de dimensió quatre. Pero de la mateixa manera que l'àlgebra real de matrius de 2 × 2, i a diferència de l'àlgebra real dels cuaterniones, els cuaterniones dividits contenen divisores de zero, elements nilpotents i elements idempotents no trivials (per eixemple, Plantilla:Sfrac(1 + j) és un divisor de zero idempotent i i − j és nilpotent). Com àlgebra sobre els número real, l'àlgebra de cuaterniones dividits és isomorfa a l'àlgebra de matrius reals d'orde 2 × 2 segons l'isomorfisme definit anteriorment.

Este isomorfisme permet identificar cada cuaternión dividit en una matriu de 2×2. Llavors, cada propietat dels cuaterniones dividits correspon a una propietat similar de les matrius, que a sovint reben noms diferents.

El conjugat d'un cuaternión dividit q= w + xi + ij + zk, és q^∗= w − xi − ij − zk. En térmens de matrius, el conjugat és el cofactor matricial que s'obté intercanviant les entrades de la diagonal i canviant el signe de les atres dos entrades.

El producte d'un cuaternión dividit en el seu conjugat és la forma quadràtica isotrópica:

$N(q)=q{q}^{*}=w^2+x^2-y^2-z^2,$

que es diu norma del cuaternión dividit o determinant de la matriu associada.

La part real d'un cuaternión dividit q= w + xi + ij + zk és w= (q^∗ + q)/2. És igual a la traça de la matriu associada.

La norma d'un producte de dos cuaterniones dividits és el producte de les seues normes. De manera equivalent, el determinant d'un producte de matrius és el producte dels seus determinants. Esta propietat significa que els cuaterniones dividits formen un àlgebra de composició. Com hi ha cuaterniones dividits distints de zero que tenen una norma zero, els cuaterniones dividits formen un "àlgebra de composició dividida", i d'ahí el seu nom.

Un cuaternión dividit en una norma distinta de zero té un invers multiplicativo, és dir, q^∗/N(q). En térmens de matrius, açò és equivalent a la regla de Cramer que afirma que una matriu és invertible si i solament si el seu determinant és distint de zero i, en este cas, l'inversa de la matriu és el cocient del cofactor factorial pel determinant.

L'isomorfisme entre cuaterniones dividits i matrius reals d'orde 2×2 mostra que el grup multiplicativo de cuaterniones dividits en norma distinta de zero és isomorfo en $\mathrm{GL}(2,ℝ),$ i el grup de cuaterniones dividits de norma 1 és isomorfo en $\mathrm{SL}(2,ℝ).$

Geomètricament, els cuaterniones dividits es poden comparar en els cuaterniones d'Hamilton com fas de plans. En abdós casos els número real formen l'eix d'un fes. En els cuaterniones d'Hamilton hi ha una esfera d'unitats imaginàries, i qualsevol parell d'unitats imaginàries antípodes genera un pla complex en la recta real. Per als cuaterniones dividits, existixen hiperboloide d'unitats hiperbòliques i imaginàries que generen plans complexos ordinaris o complexos dividits, com es descriu a continuació en § Estratificació.

Notes històriques

Els cocuaterniones varen ser introduïts inicialment (baix eixe nom) en 1849 per James Cockle en el Philosophical Magazine de Londres, Edimburc i Dublín. Els artículs introductoris de Cockle es varen arreplegar en la bibliografia posterior de 1904 de la Societat del Cuaternión.

Alexander Macfarlene va cridar a l'estructura dels vectores de cuaterniones dividits un sistema exesférico quan va parlar en el Congrés Internacional de Matemàtics de París en 1900. Va considerar la contraparte hiperbòlica de l'anàlisis esfèric en un artícul de 1910, titulat "Unificació i desenroll dels principis de l'Àlgebra de l'Espai" en el Bolletí de la Societat del Cuaternión.

L'esfera unitària va ser considerada en 1910 per Hans Beck. Per eixemple, el grup diédrico apareix en la pàgina 419. L'estructura dels cuaterniones dividits també s'ha mencionat breument en els Annals of Mathematics.

Vore també

• Matrius de Pauli
• Bicuaternión dividit
• Octonión dividit
• Cuaternión dual