Acció d'Einstein-Hilbert

La acció d'Einstein–Hilbert (també coneguda com a acció de Hilbert) en relativitat general és l'acció que proporcionen les equacions del camp d'Einstein a través del principi de mínima acció. En la signatura (− + + +), la part gravitacional de l'acció està donada per

$S=\frac{1}{2\kappa }\int R\sqrt{-g}{\mathrm{d}}^{4}x,$

a on $g=\det (g_{\mu \nu })$ és el determinant de la matriu del tensor mètric, $R$ és l'escalar de Ricci, i $\kappa =8\pi G{c}^{-4}$, a on $G$ és la constant de gravitació i $c$ és la velocitat de la llum en el buit. L'integral es calcula sobre l'espai-temps sancer si convergix. Si no convergix, $S$ no està ben definida, pero una definició modificada a on s'integra en dominis arbitrariamente grans i relativament compactes, encara proporciona l'equació d'Einstein amprant l'equació de Euler–Lagrange en l'acció d'Einstein–Hilbert.

L'acció va ser proposta per primera volta per David Hilbert en 1915.

Discussió

L'obtenció de les equacions partint d'una acció té vàries ventages. Primer, facilita l'unificació de la relativitat general en atres teories de camp clàssiques (com la teoria de Maxwell), també formulades en térmens d'una acció. En el procés, s'identifica un candidat natural per al terme de font que acopla la mètrica en els camps de matèria. Ademés, l'acció permet l'identificació fàcil de cantitats conservades a través del teorema de Noether estudiant les simetria de l'acció.

En relativitat general, normalment s'assumix que l'acció és un funcional de la mètrica (i dels camps de matèria), i la conexió està donada per la conexió de Levi-Civita. La formulació de Palatini de la relativitat general supon la mètrica i la conexió independents, i l'acció es varia sobre abdós independentment, lo que ho fa possible incloure camps fermiónicos de matèria en espin no sancer.

Les equacions d'Einstein en presència de matèria s'obtenen en afegir l'acció de la matèria a l'acció d'Einstein-Hilbert.

Obtenció de les equacions de camp d'Einstein

Se supon que l'acció completa de la teoria està donada per l'acció d'Einstein–Hilbert determini més un terme ${ℒ}_{\mathrm{M}}$ que descriu qualsevol camp de matèria que aparega en la teoria.

$S=\int [\frac{1}{2\kappa }R+{ℒ}_{\mathrm{M}}]\sqrt{-g}{\mathrm{d}}^{4}x$

El principi d'acció establix que la variació d'esta acció sobre l'invers de la mètrica és zero, resultant

$\begin{array}{cc}0& =\delta S\\ & =\int [\frac{1}{2\kappa }\frac{\delta (\sqrt{-g}R)}{\delta g^{\mu \nu }}+\frac{\delta (\sqrt{-g}{ℒ}_{\mathrm{M}})}{\delta g^{\mu \nu }}]\delta g^{\mu \nu }{\mathrm{d}}^{4}x\\ & =\int [\frac{1}{2\kappa }(\frac{\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}+\frac{R}{\sqrt{-g}}\frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu }})+\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g}{ℒ}_{\mathrm{M}})}{\delta g^{\mu \nu }}]\delta g^{\mu \nu }\sqrt{-g}{\mathrm{d}}^{4}x.\end{array}$

Com esta equació té que ser vàlida per a qualsevol variació $\delta g^{\mu \nu }$, implica que

$\frac{\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}+\frac{R}{\sqrt{-g}}\frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu }}=-2\kappa \frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g}{ℒ}_{\mathrm{M}})}{\delta g^{\mu \nu }},$

és l'equació de moviment per al camp mètric. El costat de la dreta d'esta equació és (per definició) proporcional al tensor d'energia-impulse,

$T_{\mu \nu }:=\frac{-2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g}{ℒ}_{\mathrm{M}})}{\delta g^{\mu \nu }}=-2\frac{\delta {ℒ}_{\mathrm{M}}}{\delta g^{\mu \nu }}+g_{\mu \nu }{ℒ}_{\mathrm{M}}.$

Per a calcular el costat de l'esquerra de l'equació necessitem les variacions de l'escalar de Ricci $R$ i el determinant de la mètrica.

Variació del tensor de Riemann, el tensor de Ricci, i l'escalar de Ricci

Per a calcular la variació del escalar de Ricci calculem primer la variació del tensor de curvatura de Riemann, i despuix la variació del tensor de Ricci. El tensor de curvatura del Riemann està definit per

${R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }={\partial }_{\mu }{\Gamma }_{\nu \sigma }^{\rho }-{\partial }_{\nu }{\Gamma }_{\mu \sigma }^{\rho }+{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\rho }{\Gamma }_{\nu \sigma }^{\lambda }-{\Gamma }_{\nu \lambda }^{\rho }{\Gamma }_{\mu \sigma }^{\lambda }.$

Com el tensor de Riemann solament depén de la conexió de Levi-Civita ${\Gamma }_{\mu \nu }^{\lambda }$, es pot calcular la variació del tensor de Riemann com

$\delta {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }={\partial }_{\mu }\delta {\Gamma }_{\nu \sigma }^{\rho }-{\partial }_{\nu }\delta {\Gamma }_{\mu \sigma }^{\rho }+\delta {\Gamma }_{\mu \lambda }^{\rho }{\Gamma }_{\nu \sigma }^{\lambda }+{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\rho }\delta {\Gamma }_{\nu \sigma }^{\lambda }-\delta {\Gamma }_{\nu \lambda }^{\rho }{\Gamma }_{\mu \sigma }^{\lambda }-{\Gamma }_{\nu \lambda }^{\rho }\delta {\Gamma }_{\mu \sigma }^{\lambda }.$

Ara be, com $\delta {\Gamma }_{\nu \mu }^{\rho }$ és la diferència de dos conexions, és un tensor, i per lo tant podem calcular el seu derivada covariant

${\mathrm{\nabla }}_{\lambda }(\delta {\Gamma }_{\nu \mu }^{\rho })={\partial }_{\lambda }(\delta {\Gamma }_{\nu \mu }^{\rho })+{\Gamma }_{\sigma \lambda }^{\rho }\delta {\Gamma }_{\nu \mu }^{\sigma }-{\Gamma }_{\nu \lambda }^{\sigma }\delta {\Gamma }_{\sigma \mu }^{\rho }-{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\sigma }\delta {\Gamma }_{\nu \sigma }^{\rho }.$

Podem observar que l'expressió per a la variació de tensor de curvatura de Riemann és igual a la diferència de dos d'estos térmens,

$\delta R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }={\mathrm{\nabla }}_{\mu }(\delta {\Gamma }_{\nu \sigma }^{\rho })-{\mathrm{\nabla }}_{\nu }(\delta {\Gamma }_{\mu \sigma }^{\rho }).$

Ara podem obtindre la variació del tensor de curvatura de Ricci simplement per contracció de dos índexs de la variació del tensor de Riemann, i conseguir aixina l'identitat de Palatini:

$\delta R_{\mu \nu }\equiv \delta R^{\rho }{}_{\mu \rho \nu }={\mathrm{\nabla }}_{\rho }(\delta {\Gamma }_{\nu \mu }^{\rho })-{\mathrm{\nabla }}_{\nu }(\delta {\Gamma }_{\rho \mu }^{\rho }).$

l'escalar de Ricci es definix com

$R=g^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu }.$

Per tant, la seua variació sobre l'invers de la mètrica $g^{\mu \nu }$ està donat per

$\begin{array}{cc}\delta R& =R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }\delta R_{\mu \nu }\\ & =R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+{\mathrm{\nabla }}_{\sigma }(g^{\mu \nu }\delta {\Gamma }_{\nu \mu }^{\sigma }-g^{\mu \sigma }\delta {\Gamma }_{\rho \mu }^{\rho }).\end{array}$

En la segona llínea utilisem el resultat anteriorment obtingut per a la variació del tensor de Ricci i la compatibilitat mètrica de la derivada covariant, ${\mathrm{\nabla }}_{\sigma }{g}^{\mu \nu }=0$.

L'últim terme,${\mathrm{\nabla }}_{\sigma }(g^{\mu \nu }\delta {\Gamma }_{\nu \mu }^{\sigma }-g^{\mu \sigma }\delta {\Gamma }_{\rho \mu }^{\rho })$ , multiplicat per $\sqrt{-g}$ pansa a ser una derivada exacta, ya que

$\sqrt{-g}{A}_{;a}^a=(\sqrt{-g}{A}^a{)}_{,a}\mathrm{o}\mathrm{r}\sqrt{-g}{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{A}^{\mu }={\partial }_{\mu }\left(\sqrt{-g}{A}^{\mu }\right)$

i aixina pel teorema de Stokes solament produïx un terme de frontera en integrar. Quan la variació de la mètrica $\delta g^{\mu \nu }$ s'anula en l'infinit, este terme no contribuïx a la variació de l'acció. I aixina obtenim,

$\frac{\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}=R_{\mu \nu }.$

Variació del determinant

Aplicant la fòrmula de Jacobi per a derivar un determinant resulta:

$\delta g=\delta \det (g_{\mu \nu })=g{g}^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }$

equivalentemente es podria transformar a un sistema de coordenades a on $g_{\mu \nu }$ siga diagonal i allí aplicar la regla de producte per a derivar el producte de factors en la diagonal principal.

Utilisant est conseguim

$\begin{array}{cccc}\delta \sqrt{-g}& =-\frac{1}{2\sqrt{-g}}\delta g& =\frac{1}{2}\sqrt{-g}(g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu })& =-\frac{1}{2}\sqrt{-g}(g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }).\end{array}$

En l'última igualtat utilisem el fet que

$g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }$

que se seguix de la regla per a derivar l'invers d'una matriu

$\delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \alpha }(\delta g_{\alpha \beta })g^{\beta \nu }.$

Per això concloem que

$\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu }}=-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }.$

Equació de moviment

Ara que tenim totes les variacions necessàries calculades, podem insertar-les en l'equació de moviment per al camp mètric per a obtindre,

$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu },$

que és l'equació de camp d'Einstein, i

$\kappa =\frac{8\pi G}{c^4}$

s'ha triat per a recuperar la llei de la gravetat newtoniana en el llímit no relativiste.