Equacions del camp d'Einstein

Representació de la curvatura donada per l'equació de camp d'Einstein sobre el pla de l'eclíptica d'una estrela esfèrica: Dita equació relaciona la presència de matèria en la curvatura adquirida pel espai-temps.

En física, les equacions de camp d'Einstein, equacions d'Einstein o equacions d'Einstein-Hilbert (conegudes com EFE, per Einstein field equations) són un conjunt de dèu equacions de la teoria de la relativitat general d'Albert Einstein que modelen l'interacció fonamental de la gravitació com a resultat de que l'espai-temps està sent curvat per la matèria i l'energia.^[1]

Publicades per primera volta per Einstein en 1915^[2] com una equació tensorial, les equacions EFE equiparen la curvatura de l'espai-temps local (expressada pel tensor d'Einstein) en l'energia local i el moment dins d'eixe espai-temps (expressat pel tensor de tensió-energia).^[3]

Les equacions de camp d'Einstein relacionen la presència de matèria en la curvatura de l'espai-temps. Més exactament, quant major siga la concentració de matèria, representada pel tensor d'energia-impulse, tant majors seran les components del tensor de curvatura de Ricci.

En el llímit clàssic no-relativiste, açò és, a velocitats chicotetes comparades en la llum i camps gravitacionals relativament dèbils, les equacions de camp d'Einstein es reduïxen a l'equació de Poisson per al camp gravitatorio, que és equivalent a la llei de gravitació de Newton.

Forma matemàtica de les equacions de camp d'Einstein

En les equacions de camp d'Einstein, la gravetat es dona en térmens d'un tensor mètric, una cantitat que descriu les propietats geomètriques del espai-temps tetradimensional i a partir de la qual es pot calcular la curvatura. En la mateixa equació, la matèria és descrita per la seua tensor de tensió-energia, una cantitat que conté la densitat i la pressió de la matèria. Estos tensors són tensors simètrics de 4 X 4, de modo que tenen dèu components independents. Donada la llibertat d'elecció de les quatre coordenades de l'espai-temps, les equacions independents es reduïxen a sis. La força d'acoplament entre la matèria i la gravetat és determinada per la constant gravitatoria universal.

Per a cada punt de l'espai-temps, l'equació de camp d'Einstein descriu cóm l'espai-temps es curva per la matèria i té la forma d'una igualtat local entre un tensor de curvatura per al punt i un tensor que descriu la distribució de matèria al voltant del punt:

$G_{μ ν} = \frac{8 π G}{c^{4}} T_{μ ν}$
Símbol	Nom
$G_{μ ν}$	Tensor de curvatura d'Einstein, que es forma a partir de derivades segones del tensor mètric $g_{μ ν}$
$T_{μ ν}$	Tensor moment-energia
$c$	Velocitat de la llum
$G$	Constant de la gravitació universal

Eixa equació es complix per a cada punt de l'espai-temps.

El tensor de la curvatura d'Einstein es pot escriure com:


Símbol	Nom
$R_{μ ν}$	Tensor de curvatura de Ricci
$R$	Escalar de curvatura de Ricci
$Λ$	Constant cosmológica

L'equació de camp, per lo tant, també pot donar-se com seguix:

a on $g_{μ ν}$ és un tensor simètric 4 x 4, aixina que té dèu components independents. Donada la llibertat d'elecció de les quatre coordenades de l'espai-temps, les equacions independents es reduïxen en número a sis. Estes equacions són la base de la formulació matemàtica de la relativitat general. Note's que considerant la contracció sobre els dos índexs de l'última relació es troba que l'escalar de curvatura es relaciona en la traça del tensor energia impulse i la constant cosmológica per mig de:

$R - 2 R + 4 Λ = \frac{8 π G}{c^{4}} T$

Eixa relació permet escriure equivalentemente les equacions de camp com:

Interpretació geomètrica de l'equació d'Einstein

L'equació d'Einstein implica que, per a cada observador, la curvatura escalar $κ$ de l'espai és proporcional a la densitat aparent $ρ$ :

$κ = \frac{16 π G}{c^{2}} ρ$
Símbol	Nom	Valor	Unitat
$c$	Velocitat de la llum	299792458	m / s
$G$	Constant de la gravitació universal	6.6741I^-11	N m² / kg²

D'acort en el significat geomètric de la curvatura escalar, esta igualtat afirma que en una esfera de massa M i densitat constant, l'excés radial (la diferència entre el radi real i el radi que li correspondria en la geometria euclídea a una esfera d'igual àrea) és igual a^[4]

Per eixemple, en el cas de la Terra l'excés radial és d'1,5 mm i en el cas del Sol és d'uns 495 m.

És sorprenent que esta equació, que introduïx mínimes correccions en les fòrmules de la geometria euclídea, arreplegue casi totes les equacions conegudes de la física macroscòpica. En efecte, quan la velocitat de la llum c tendix a infinit, d'ella es deriven la llei de gravitació universal de Newton, l'Equació de Poisson i, per tant, el caràcter atractiu de les forces gravitatorias, les equacions de la mecànica de decorreguts (equació de continuïtat i equacions de Euler), les lleis de conservació de la massa i el moment, el caràcter euclídeo de l'espai, etc.

Igualment es deriven totes les lleis de conservació relativistes, i que l'existència de camps gravitatorios i de massa solament és possible quan l'espai té més de dos dimensions. Més encara, si se supon que l'espai té quatre dimensions (les tres que veem diàriament <o> més una menudíssima dimensió circular extra </o>, aproximadament del tamany de la cridada llongitut de Planck, 10^-33 cm) de l'equació d'Einstein es deduïxen la teoria clàssica de l'electromagnetisme: les equacions de Maxwell i, per tant, la llei de Coulomb, la Conservació de la càrrega elèctrica i la llei de Lorentz.

Llímit clàssic

Artícul principal → Llímit clàssicLlímit clàssic de la relativitat general.

En el llímit clàssic l'única component no nula del tensor de Ricci és la component temporal $R_{00}$ . Per a obtindre el llímit clàssic deu supondre's que el potencial gravitatorio és molt chicotet en relació en el quadrat de la velocitat de la llum i a continuació deu prendre's el llímit de les equacions quan la velocitat de la llum tendix a infinit. Fent eixes manipulacions s'obté que les equacions de camp d'Einstein per al camp gravitatorio es reduïxen a l'equació diferencial de Poisson per al potencial gravitatorio. Suponent que per a camps gravitatorios dèbils la mètrica de l'espai temps pot escriure's com un destorbament de la mètrica de Minkowski:

La component temporal del tensor de Ricci resulta ser:

L'última expressió és precisament l'equació de Poisson, que és l'expressió clàssica que relaciona el potencial gravitatorio en la densitat de matèria.

Solucions de l'equació de camp d'Einstein

Una solució de l'equació de camp d'Einstein és certa mètrica apropiada per a la distribució donada de la massa i de la pressió de la matèria. Algunes solucions per a una situació física donada són com seguix.

Distribució de massa esfèrica simètrica i estàtica

Archiu:Schwarzschild interior.jpg

La solució per al buit al voltant d'una distribució de massa esfèrica simètrica, estàtica, és la mètrica de Schwarzschild i la mètrica de Kruskal-Szekeres. S'aplica a una estrela i conduïx a la predicció d'un horisó de successos més allà del com no es pot observar. Prediu la possible existència d'un forat negre de massa donada $M$ del que no pot ser extreta cap energia, en el sentit clàssic del terme (és dir, no mecànic-quàntic).

Vore també: Radi de Schwarzschild i Forat negre de Schwarzschild

Massa de simetria axial en rotació

La solució per a l'espai buit al voltant d'una distribució de massa de simetria axial en rotació és la mètrica de Kerr. S'aplica a una estrela que trencada i conduïx a la predicció de l'existència possible d'un forat negre en rotació de massa donada M i moment angular J, del com l'energia rotatòria pot ser extreta.

Vore també: Forat negre de Kerr

Univers isótropo i homogéneu (o uniforme)

La solució per a un univers isótropo i homogéneu, ple en una densitat constant i d'una pressió insignificant, és la mètrica de Robertson-Walker. S'aplica a l'univers en la seua totalitat i conduïx a diversos models de la seua evolució que prediuen un univers en expansió.

Vore també: Friedman-Lemaître-Robertson-Walker i Acceleració de l'expansió de l'Univers

Referències

↑ (1916).Annalen der Physik.354(7)
769.doi:10.1002/andp.19163540702.
↑ Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin.
844–847.Consultat el 12 de setembre de 2006.
↑ (1973) Gravitation, Sant Francisco: W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-0344-0. Chapter 34, p 916
↑ The Feynman Lectures on Physics. «Curved space». Consultat el 3 de febrer de 2021.

Este artícul conté una traducció derivada de «Ecuaciones del campo de Einstein» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[ein-1] (1916).Annalen der Physik.354(7)
769.doi:10.1002/andp.19163540702.

[Ein1915-2] Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin.
844–847.Consultat el 12 de setembre de 2006.

[3] (1973) Gravitation, Sant Francisco: W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-0344-0. Chapter 34, p 916

[4] The Feynman Lectures on Physics. «Curved space». Consultat el 3 de febrer de 2021.

[1]

[2]

[3]

[4]