Arquitas

Archiu:Archytas of Taras.jpg

Arquitas

Arquitas de Tarento (en grec antic: Ἀρχύτας ὁ Ταραντίνος; c. 430 a. C.- c. 360 a. C.) va ser un filòsof, matemàtic, astrònom, estadiste, general i contemporàneu de Platón.

Arquitas va treballar en la seua ciutat natal, la colónia grega Tarento en Apulia. Com a filòsof, va pertànyer als pitagórico. Se li coneix sobretot per la seua relació amistosa en Platón, per la coloma voladora que es diu que va inventar i per un experiment mental en el que va intentar demostrar la infinitud de l'univers. Només es conserven alguns Fragments dels seus escrits, que tractaven en particular temes de matemàtiques i música.

Com teòric de la ciència, Arquitas era optimista. Creïa que el coneiximent científic era fàcil d'obtindre si es tenia el método adequat. Va fer especial recalcament en les matemàtiques com a ciència bàsica. El seu guany matemàtic més significatiu va ser la solució del problema de duplicar la gaveta. Açò demostra que tenia una complexitat metodològica extraordinària per a la seua época. Va contribuir a la harmònica musical en la seua teoria matemàtica del interval harmònic. En òptica va intentar trobar una explicació per a la reflexió i en Acústica per als diferents tons. Els seus guanys científics, dels que poc se sap per l'escassea de senyes conservades, varen ser reconeguts per la posteritat antiga i pels historiadors moderns de la ciència.

Arquitas va eixercitar un paper polític i militar decisiu com a principal estadiste i estratega de la seua ciutat natal i d'una federació de colónies gregues en el sur d'Itàlia liderada per ella. Els seus èxits militars li varen valdre una gran autoritat. En l'àmbit intern, va advocar per l'equilibri social, creent possible justificar científicament un concepte de justícia i conseguir aixina el consens.

Biografia

Arquitas va nàixer en Tarento (Magna Grècia, hui Itàlia) entre els anys 435 i 410 a. C. Fill de Hestieo, segons Aristógenes, o de Mneságoras, segons Diógenes Laercio. Va ser comandant en tres guerres, i strategos de Tarento durant sèt anys (indicatiu del seu prestigi social) ya que la llei prohibia la reelecció més d'un any. Va conduir una reforma política en Tarento per mig de la que va aplegar a ser la ciutat més rica i poblada de la Magna Grècia. A través de la construcció de memorials, temples i atres edificis li va donar llustre a la ciutat. Va ajudar a donar nous impulsos al comerç en buscar associacions en Istria, Grècia i Àfrica.

Arquitas de Tarento va pertànyer a l'escola secta dels Pitagórico, alumne de l'escola de Filolao. Va ser amic de Platón, al que va conéixer durant el primer viage que este va realisar al sur d'Itàlia i a Sicília en 388/387 a. C., despuix de la mort de Sócrates. En el seu Carta Sèptima, Platón assegura que Arquitas va tractar de rescatar-ho en les seues dificultats en Dionisio II de Siracusa, per mig d'una carta de recomanació i enviant un barco a Sicília en 361 a. C.. Per a alguns autors va ser el mestre pitagórico de Platón i per a uns atres el seu discípul.

Va ensenyar matemàtiques a Eudoxo de Cnidos, sent a la seua volta mestre de Menecmo. Va ser la primera persona en conseguir una bona aproximació al problema de la Duplicació de la gaveta, i un dels primers que, despuix de Pitágoras, va treballar en el coneiximent conjunt de l'Aritmètica, Geometria, Astronomia i Música, el Quadrivium, aixina com de l'Acústica, acotant les matemàtiques a disciplines tècniques, en les quals es creu haja inventat la polea, el tornell i una espècie de mecanisme articulat en ales, similar a un pardal, al que va conseguir fer volar prop de 300 metros gràcies a l'impuls d'un núcleu de vapor comprimit. Segons Aristóteles va ser l'inventor del sonajero. Uns atres també asseguren la seua influència directa sobre Euclides.

Segons conte Horacio en una de les seues odas, Arquitas va fallir en un naufragi en les costes d'Apulia entre els anys 360 i 350 a. C. Horacio va escriure que el seu cos va permanéixer sense sepultura en la vora fins que un navegant li va tirar arena damunt, puix d'una atra forma hauria vagat en este costat del Llac Estige durant cent anys.

Curva de Arquitas

La curva de Arquitas és un cas particular de la curva d'intersecció d'un bou i un cilindre. Es pot utilisar per a duplicar la gaveta.

• Curva de Arquitas.
  Curva de Arquitas.
• Curva de Arquitas.
  Curva de Arquitas.
• Curva de Arquitas. Duplicació de la gaveta.
  Curva de Arquitas. Duplicació de la gaveta.
• Procediment per a duplicar els daus segons Arquitas
  Procediment per a duplicar els daus segons Arquitas

Obres

De les obres de Arquitas només han sobrevixcut quatre fragments certament autèntics. No es troba cap llista d'obres en les fonts més antigues. En époques posteriors, moltes obres espurias varen circular baix el seu nom. No es coneixen els títuls originals de les obres autèntiques, i l'informació proporcionada pels autors antics que les citen es considera poc fiable. L'única certea és que es tractaven la música i les matemàtiques. Per a un dels escrits, el títul Sobre les ciències es dona en diferents variants (Perí mathematikón, Perí mathemáton, Peri mathematikés). Una atra -o possiblement partix de Sobre les ciències- pot haver-se titulat Harmònics. Una atra obra, supostament titulada Tractats (diatribaí), possiblement incloïa un intent de donar una base científica a l'ètica. Archytas també va poder haver compost escrits sobre cosmologia, biologia, maquinària i agricultura.

Filosofia

Encara que Arquitas va ser un contemporàneu més jove de Sócrates, a qui va sobreviure durant décades, se li conta entre els Presocráticos perque pertanyia a una tradició més antiga que encara no estava baix l'influència de la filosofia socrática. Esta classificació és problemàtica, no obstant, perque les seues obres varen ser escrites despuix de la mort de Sócrates.

Arquitas considerava la ciència dels números, a la que cridava logistikē, com el fonament de les ciències i també destacava la seua primacia sobre la geometria. En el seu gran estima per les matemàtiques, coincidia en Platón. No obstant, mentres Platón vea en l'estudi de les matemàtiques només una preparació per a l'estudi de la filosofia i la seua concepció de l'educació apuntava a una comprensió purament intelectual de la realitat, Arquitas no compartia el despit de Platón pel empirisme i tampoc feya la tallant distinció platònica entre els àmbits de lo intelectualment conocible i lo sensiblement perceptible. Per a ell, l'aritmètica també era important des del punt de vista polític, perque semblava oferir-li la possibilitat de trobar fòrmules plausibles per a una distribució consensuada i equilibrada de la propietat entre els ciutadans. ya que l'aplicació de tals fòrmules era verificable per a tots, podia, segons la convicció de Arquitas, establir i preservar la pau social. Açò era de suma importància en les ciutats gregues, a sovint sacsades per sanguinoses lluites de poder. L'equilibri entre les classes socials, que devia evitar conflictes violents (stáseis en la ciutadania, era una preocupació central de Arquitas. Ell esperava la realisació de el "càlcul" correcte i apropiat (logismós), que demostrablemente assegurava que ningú es extralimitara.

Bruno Snell senyala el canvi de significat de la paraula máthema, que segons el seu significat bàsic denota lo que es deprén o es pot deprendre. Com a designació de la ciència, esta expressió apareix atestada per primera volta en Arquitas. Per al filòsof tarentino, les matemàtiques eren el camp central del coneiximent, pero ademés de la geometria i l'aritmètica, l'astronomia i la música també pertanyien als mathémata. Arquitas cridava a estes quatre ciències sistered. Només més tart es va reduir el camp de significat a les matemàtiques, perque només les matemàtiques semblaven ser una ciència en sentit propi, ya que només elles semblaven complir el requisit de que els objectes d'una ciència deuen ser conocibles en total certea.

Segons pareix, Arquitas va desenrollar una filosofia de la ciència com a doctrina en la que tractava l'art de la busca adequada -l'enfocament científic- com a requisit bàsic per a l'èxit. Professava una erkenntnistheoretische optimista; segons la seua creència, els descobriments són fàcils i senzills si es té el método adequat. Els detalls del seu método són difícils d'averiguar per l'estat desfavorable de les fonts. Lo que ha sobrevixcut és el seu principi de que primer cal fer bones distincions sobre la naturalea de el "tot"; una volta conseguit açò, es pot comprendre be la naturalea dels objectes individuals. En conseqüència, el coneiximent científic progressa de lo més general a lo més específic. A partir de l'escassa informació de les fonts, no queda clar a qué es referia exactament en els "sancers", com els conceptes generals d'una ciència en particular. En qualsevol cas, Arquitas estava convençut de que descobrir fets per un mateixa era superior a adoptar lo que ya se sabia. Lo que un mateixa descobria era alguna cosa propi (ídion); el conjunt de coneiximents que un adquiria deprenent era alguna cosa alié.

En ètica, Arquitas feya especial recalcament en l'exigència d'actuar sempre d'acort en la raó i mai actuar espontàneament per ira o deixar que els desijos nuvolaren la ment.

Cosmologia

La tradició de que Arquitas va ser també astrònom es remonta als poetes romans Horacio i Propercio, que provablement no disponien d'informació fidedigna al respecte. Autèntic i famós, no obstant, és el seu argument a favor de la infinitud de l'univers. Es tracta d'un experiment mental que diu: Si algú que haguera aplegat a un supòsit extrem de l'univers estenguera allí la seua mà o una vara, tindria que trobar-se o en un cos o en l'espai buit, és dir, en qualsevol cas en una continuació de l'univers. Aixina que, el cosmos deu estendre's infinitament. Esta idea va ser represa i modificada per l'Estoicos i l'Epicúreos i encara per John Locke i Isaac Newton.

Matemàtiques

Irracionalitat

Arquitas s'ocupava de les raons $(n+1):n$, que en l'expressió de l'época es dien "superproporcionales". Es tracta de relacions $a:b$ en les que el "excés" de $a$ sobre $b$ és l'enèsima part de $b$ i llavors $a:b=(n+1):n$ es complix. Archytas va trobar una prova de la teorema "Entre dos números en una relació superproporcional, mai es poden trobar proporcionals mijos (Mija geomètrica)." Açò significa, en terminologia moderna, que hi ha irracional cocients de magnituts que no poden representar-se com a cocients de número racional (número fraccionarios). La raïl quadrada $\sqrt{(n+1):n}$ són irracionals.

Curva de Arquitas

una figura en un pla tridimencional

Curva de Arquitas

vàries superfícies superpostes

El procés de doblar la gaveta.

Hipócrates de Quíos havia conseguit reduir el problema de duplicar la gaveta a un problema de raó: Bastava en trobar -és dir, construir geomètricament- per a la distància $a$, aresta de la gaveta a doblar, les distàncies $u$ i $v$ de tal manera que estigueren en la raó $a:u=u:v=v:2a$. Llavors, a saber

${\left(\frac{a}{u}\right)}^3=\frac{a}{u}\times \frac{u}{v}\times \frac{v}{2a}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}.$

Per tant, es té $2\times a^3=u^3$ i la gaveta en aresta $u$ és, com es desijava, una duplicació de la gaveta en aresta $a$.

No obstant, Hipócrates no va conseguir construir $u$ i $v$ per a distàncies donades $a$ i $b$ de tal manera que $a:u=u:v=v:b$ es complixca, ni tan sols per al cas especial $b=2a$ que només es necessita ací. Açò és lo que es varen esforçar per fer els erudits antics posteriors. El matemàtic antic Eutocio, en el seu comentari al tractat Peri sphaíras kai kylíndrou (Sobre l'esfera i el cilindre)' d'Arquímedes, va transmetre dotze solucions. La primera i millor d'elles és la de Arquitas. Ho va conseguir en l'ajuda de la curva que du el seu nom. Es tracta de la primera curva -és dir, no continguda en cap pla- utilisada en l'història de les matemàtiques. La construcció utilisada per a trobar una intersecció de tres superfícies curves és única en la matemàtica antiga i resulta especialment sorprenent per a esta etapa primerenca de l'història de les matemàtiques. No obstant, en l'investigació contemporànea s'assumix de forma marejant que en realitat es va originar en Archytas.

Per a la solució Arquitas va utilisar les superfícies de tres sòlits: un bou, un cilindre i un con. En la representació moderna usant coordenades cartesianes convenientment elegides, estes superfícies vénen donades cada una d'elles per una de les següents equacions:

$\begin{array}{c}{x}^2+y^2+z^2=a\sqrt{x^2+y^2}\\ x^2+y^2=ax\\ x^2+y^2+z^2=\frac{a^2}{b^2}{x}^2\end{array}$

El toroide i el cilindre es intersecan en la curva de la arquieta. L'intersecció $P$ d'esta curva en el con és un punt que satisfà les tres equacions. Per tant, se li aplica lo següent, si s'abrevia.

$u=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$  i  $v=\sqrt{x^2+y^2}$

s'escriu:

$\{\begin{array}{c}{u}^2=av\\ v^2=ax\\ u^2=\frac{a^2}{b^2}{x}^2\end{array}$

La primera equació diu $a:u=u:v$. Si l'equivalent $v^2$ segons la segona equació s'utilisa en la tercera equació per a $ax$, el resultat despuix de l'extracció de la raïl i la conversió és $u:v=v:b$. Aixina que en conjunt es complix la relació desijada $a:u=u:v=v:b$. La distància de $P$ a l'orige de coordenades té llongitut $u$; aixina es va introduir $u$. És per tant, en el cas $b=2a$, l'aresta de la gaveta doblada. Una reconstrucció del procediment de Archytas és donada per Stephen Menn. La construcció no té èxit si només es poden utilisar compassos i regles; no obstant, este requisit només es va impondre en les matemàtiques gregues despuix de Arquitas.

Eponimia

• El cràter llunar Archytas du este nom en la seua memòria.
• l'asteroide (14995) Archytas també commemora el seu nom.

Enllaços externs

• Diógenes Laercio: Vides, opinions i sentències dels filòsofs més ilustres; VIII, 79 - 83: Arquitas.
  • Text espanyol en la Biblioteca Virtual Miguel de Cervantes.
    • Text grec en Wikisource.

• Arquitas: fragments i testimonis, en traducció i pròlec de Claudio R. Varela.
  • Text bilingüe espanyol - grec; document de Word, en Internet Archive, que requerix el tipo de lletra Palatino Lynotype. Versió oficial de la traducció en ^{[enllaç trencat]} ISSN 0718-8382 Text espanyol - grec.
• Fragments de l'obra de Arquitas.
  • Text francés, en comentaris en eixe idioma, en el lloc de Philippe Remacle (1944 - 2011); trad. de Antelme Édouard Chaignet (1819 - 1901). 10.ª ed. París, 1874.
• Hermann Alexander Diels: Fragments dels presocráticos (Die Fragmente der Vorsokratiker). La primera edició es va fer en 1903 en Berlín, i va ser dirigida pel propi Diels. A partir de la 5.ª, substituiria a Diels Walther Kranz.
  • 35: Archytas.
    • Text grec, en comentaris en alemà: 1.ª ed., de 1903, en facsímil electrònic en Internet Archive.
    • Texts de la 2.ª ed., de 1906, la majoria en grec, algun en llatí i algun en francés, en el lloc de Philippe Remacle.
• FARAH CALDERÓN, Walter: Entre la mentira i la veritat pitagórico: el cas de Arquitas de Tarento.
  • Text en PDF, per mig de registre, en Hybris, revista de filosofia. CENALTES, Vol.3- N.º 2. Autumne 2012. pp 46–74 ISSN 0718-8382.