Cútrit

En mecànica quàntica, un cútrit o trit quàntic (qutrit en anglés), és l'anàlec quàntic del trit, de la mateixa forma que el cúbit és la versió quàntica del bit. Es tracta d'un sistema quàntic genèric l'estat general del qual és una superposició de tres estats bàsics, habitualment denotats $\{|0⟩,|1⟩,|2⟩\}$, ortogonals entre sí per a que puguen ser fidelment distinguits. Matemàticament

$|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩+\gamma |2⟩$

satisfent $⟨i|j⟩={\delta }_{ij}$, en $i,j\in \{0,1,2\}$. En concret, $\{|0⟩,|1⟩,|2⟩\}$ constituïx una base ortonormal del espai de Hilbert tridimensional ${\mathscr{H}}_3$. El cútrit ha d'estar normalisat, de modo que

$⟨\psi |\psi ⟩=|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2+|\gamma {|}^2=1$

Estes estructures tenen algunes peculiaritats quan són amprades per a almagasenar informació quàntica. Per eixemple, són molt més robustes a la decoherencia davant les interaccions de l'entorn. En realitat, manipular cútrits directament és engorroso, raó per la qual s'ampren entrellaçats en un cúbit.

Representació

De la mateixa manera que per als cúbits, és possible expressar un cútrit pur arbitrari normalisat, salve per una fase global, en térmens d'ànguls

$|\psi ⟩=e^{i{\chi }_1}\sin \theta \cos \varphi |0⟩+e^{i{\chi }_2}\sin \theta \sin \varphi |1⟩+\cos \theta |2⟩$

a on dites coordenades angulars posseïxen els següents rancs

$0\le \theta ,\varphi \le \pi /20\le {\chi }_1,{\chi }_2\le 2\pi$

Per una atra part, tota matriu densitat d'un cútrit (estat pur o mescla) admet el desenroll

$\rho =\frac{1}{3}\sum _{\alpha =0}^8{c}_{\alpha }{\lambda }_{\alpha }$

a on ${\lambda }_{\alpha }$ en $\alpha \in \{1,2,\dots ,8\}$ simbolisen les huit matrius de Gell-Mann, generadors de $\mathrm{S}\mathrm{U}(3)$ i base de les matrius 3x3 hermíticas sense traça (de la mateixa manera que les matrius de Pauli permeten generar les matrius hermíticas sense traça quadrada de dimensió 2) i

${\lambda }_0=\sqrt{\frac{2}{3}}𝕀$

sent $𝕀$ la matriu identitat 3x3. Aplicant la propietat $\mathrm{t}\mathrm{r}({\lambda }_{\alpha }{\lambda }_{\beta })=2{\delta }_{\alpha \beta }$ és directe vore que els coeficients de l'anterior combinació llineal vénen daus per

$c_{\alpha }=\frac{3}{2}\mathrm{t}\mathrm{r}(\rho {\lambda }_{\alpha })$

Ademés, com ha de tindre's $\mathrm{t}\mathrm{r}(\rho )=1$, és necessari que $c_0=\sqrt{3/2}$, lo que conduïx a l'escritura

$\rho =\frac{1}{3}(1+c_j{\lambda }_j)\equiv \frac{1}{3}(1+𝐜\cdot 𝝀)$

Pot demostrar-se que una condició necessària i suficient per a que $\rho$ codifique un estat pur (açò és, que ${\rho }^2=\rho$) consistix que el vector de huit components reals $𝐜$ verifique

$𝐜\cdot 𝐜=3𝐜\star 𝐜=\sqrt{3}𝐜$

a on l'operació $\star$ es definix com

$𝐚\star 𝐛\equiv \sum _{i,j,k}{a}_i{b}_j{d}_{kij}{𝐞}_k$

en ${𝐞}_k$ la base ortonormal usual en ${ℝ}^8$ i $d_{kij}$ uns coeficients relacionats en els anticonmutadores de les matrius de Gell-Mann. Traduint esta condició en térmens dels ànguls $\theta ,\varphi ,{\chi }_1,{\chi }_2$, es troba que tots els estats purs descansen sobre l'esfera unitat en ${ℝ}^8$ (anàlec de l'esfera de Bloch para cúbits), si ben no tots els punts de la citada esfera es corresponen en estats purs.

En lo que seguix, s'estudiaran sistemes de dos cútrits, els estats dels quals són de la forma

$|\Psi ⟩=\sum _{i,j=0}^2{A}_{ij}|i⟩\otimes |j⟩$

En particular, es diu que $|\Psi ⟩$ és separable si existixen kets $|x⟩,|y⟩\in {\mathscr{H}}_3$ tals que

$|\Psi ⟩=|x⟩\otimes |y⟩$

De lo contrari, $|\Psi ⟩$ és un estat entrellaçat. Encara que no sempre és possible trobar $|x⟩,|y⟩$ que complixquen esta última igualtat, tot estat de dos cútrits posseïx descomposició de Schmidt

$|\Psi ⟩=\sum _i{\eta }_i|i_A⟩\otimes |i_B⟩$

en ${\eta }_i$ coeficients reals positius i $|i_A⟩,|i_B⟩$sengles bases ortonormals. Dins dels estats de dos cútrits, els de major interés teòric i experimental són els denominats maximalment entrellaçats, i.i. aquells les matrius dels quals densitat parcials associades són proporcionals a l'identitat. Un eixemple d'esta classe d'estats és

$|{\Psi }_M⟩=\frac{1}{\sqrt{3}}(|0⟩\otimes |0⟩+|1⟩\otimes |1⟩+|2⟩\otimes |2⟩)$

Un pugues, per similitut en la base de Bell en el cas de cúbits, construir una base ortonormal d'estats maximalment entrellaçats, d'utilitat pràctica en la preparació d'un protocol de codificació superdensa per a la transmissió de dos trits en un cútrit.

Aplicacions

Una de les principals ventages de l'ocupació de sistemes de dos cútrits entrellaçats front a l'us de cúbits és la major resiliencia dels primers davant el soroll clàssic, l'efecte del qual és el d'ocultar i eventualment suprimir el comportament quàntic dels estats entrellaçats (lo que es coneix com decoherencia). Una manera de modelar matemàticament una situació de soroll radica en considerar l'operador densitat

$\rho (F_N)=F_3{\rho }_{\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}}+(1-F_3)|{\Psi }_M⟩⟨{\Psi }_M|$

a on ${\rho }_{\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}}=𝕀/9$ és el estat mescla maximal, $|{\Psi }_M⟩$ és l'estat introduït en la secció anterior i $0\le F_3\le 1$ és una mida de la cantitat de soroll de la que acucia el sistema. Desenrollant llavors un determinat experiment mental, es calcula el mínim valor de $F_3$ tal que els resultats admeten una explicació basada en una teoria que preserva el realisme local i, per tant, de caràcter no quàntic. Per a cútrits, resulta

$F_3^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=(11-6\sqrt{3})/2\cong 0.30385$

mentres que repetint el càlcul per a cúbits, s'aplega a $F_2^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\cong 0.29289$, provant que esta segona configuració és més sensible al soroll.

Aixina mateix, és sabut que l'utilisació de cútrits en la finalitat d'atacar certs problemes és menys costosa que en cúbits, en el sentit de que es consumixen menys recursos. Açò succeïx, per eixemple, en el problema del acort bizantí, per al que s'ha propost una resolució basada en tres cútrits que es troben en el cridat estat de Aharonov

$|{\Psi }_A⟩=\frac{1}{\sqrt{6}}(|0⟩\otimes |1⟩\otimes |2⟩+|1⟩\otimes |2⟩\otimes |0⟩+|2⟩\otimes |0⟩\otimes |1⟩-|0⟩\otimes |2⟩\otimes |1⟩-|1⟩\otimes |0⟩\otimes |2⟩-|2⟩\otimes |1⟩\otimes |0⟩)$

La propietat característica d'este estat sobre la base de la qual s'edifica la resolució és el fet de que, fixada la base en la que es porta a terme la medició, els resultats obtinguts per a cada cútrit diferixen. S'ha demostrat que no hi ha manera eficient de codificar l'estat de Aharonov (o l'anàlec del mateix per a cúbits) en un sistema de cúbits entrellaçats. Un atre protocol per al que existix una implementació fonamentada en cútrits i que requerix menys recursos que la coneguda per a cúbits és el denominat llançament de moneda quàntic (quàntum coin tossing).

Per últim, un sistema de criptografia quàntica mediat per cútrits permetria jugar en tres signes o dígits (0,1,2) en lloc de sol dos, incrementant el fluix d'informació.