Matrius de Gell-Mann

Murray Gell-Mann

Les matrius de Gell-Mann, que prenen el seu nom de Murray Gell-Mann, són una possible representació dels generadors infinitesimals del grup unitari especial SU(3). l'àlgebra de Lie d'este grup (una àlgebra de Lie real, de fet) té dimensió huit i per lo tant un conjunt en huit generadors linealmente independents, que es poden escriure com $g_i$ en i prenent valors entre 1 i 8.

Definició

Estos elements de l'àlgebra de Lie obedixen les relacions de conmutación

$[g_i,g_j]=i{f}^{ijk}{g}_k$

a on la suma sobre l'índex k està implícita. Les constants d'estructura $f^{ijk}$ són completament antisimètriques en els tres índexs i té valors

$f^{123}=1,f^{147}=f^{165}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=f^{376}=\frac{1}{2},f^{458}=f^{678}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Qualsevol conjunt de matrius Hermitianas que obedixca estes relacions és vàlida. Una elecció particular de matrius es diu una representació de grup, perque qualsevol element de SU(3) es pot escriure en la forma $\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(i{\theta }_j{g}_j)$, a on ${\theta }_j$ són número real i la suma sobre l'índex j està implícita. Donada una representació, una atra pot ser obtingut per mig d'una transformació unitària arbitrària, ya que no modifica el commutador.

Representacions particulars

Una representació important involucra matrius 3×3 matrius perque els elements del grup operen sobre vectores complexos de 3 entrades, açò és, en la representació fonamental del grup. Una elecció particular d'esta representació és

${\lambda }_1=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_2=\left(\begin{array}{ccc}0& -i& 0\\ i& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$
${\lambda }_4=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_5=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -i\\ 0& 0& 0\\ i& 0& 0\end{array}\right)$
${\lambda }_6=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_7=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -i\\ 0& i& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_8=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right)$

i $g_i={\lambda }_i/2$.

Estes matrius tenen traça nula, són hermitianas, i obedixen la relació de normalisació $\mathrm{t}\mathrm{r}({\lambda }_i{\lambda }_j)=2{\delta }_{ij}$. Gell-Mann va triar estes propietats per a generalisar les matrius de Pauli para SU(2). També es poden estendre naturalment a grups generals SU(n).

En esta representació, és evident que la subálgebra de Cartan és el conjunt de combinacions llineals (en coeficients reals) de les dos matrius ${\lambda }_3$ i ${\lambda }_8$, que commuten entre sí. Hi ha 3 subgrups SU(2) independents: $\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3\}$, $\{{\lambda }_4,{\lambda }_5,x\}$ i $\{{\lambda }_6,{\lambda }_7,y\}$, a on x i i són combinacions llineals de ${\lambda }_3$ i ${\lambda }_8$.

La suma quadrada de les matrius de Gell-Mann dona l'operador quadràtic de Casimir, un invariante del grup,

$C=\sum _{i=1}^8{\lambda }_i{\lambda }_i=16/3$.

Ademés, hi ha un atre operador de Casimir independent, en este cas cúbic.

Estes matrius servixen per a estudiar les rotacions internes entre els diferents colors de quarks en cromodinámica quàntica.

Vore també

• Matrius de Pauli
• Grup unitari i Representació de grup
• Model de quarks, càrrega de color i Cromodinámica quàntica
• Gluon

Referències

• Georgi, H. (1999). Lie Algebras in Particle Physics, 2nd edició, Westview Press. ISBN 978-0-7382-0233-4.Lie Algebras in Particle Physics (2nd ed.). Westview Press. ISBN 978-0-7382-0233-4. 

• (2000) Mathematical Methods for Physicists, 7th edició, Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9.Mathematical Methods for Physicists (7th ed.). Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9. 
• Kokkedee, J. J. J. (1969). The Quark Model, W. A. Benjamin.The Quark Model. W. A. Benjamin. LCCN 69014391.