Conjectura de Elliott–Halberstam

En teoria de números, la conjectura de Elliott-Halberstam és un postulat sobre la distribució de número primo en progressions aritmètiques. Té moltes aplicacions en teoria de garbells. Du el nom de Peter D. T. A. Elliott i Heini Halberstam, els qui varen formular la conjectura en 1968.

Conjectura

Enunciar la conjectura requerix una miqueta de notació. Siga $\pi (x)$, la funció contador d'número primo, que consistix en el número de cosins menors o iguals que $x$. Si $q$ és un número entero positiu i $a$ i $q$ són número coprimo, llavors s'establix que $\pi (x;q,a)$ denota el número de cosins menors o iguals a $x$ que són iguals a $a$ mòdul $q$. El Teorema de Dirichlet afirma que

$\pi (x;q,a)\approx \frac{\pi (x)}{\phi (q)}$

a on $\phi$ és la funció φ de Euler. Si després es definix la funció d'error

$E(x;q)=\underset{\text{mcd}(a,q)=1}{\max }|\pi (x;q,a)-\frac{\pi (x)}{\phi (q)}|$

a on el màxim es pren sobretot coprimo des de $a$ fins a $q$, llavors la conjectura de Elliott-Halberstam és l'afirmació de que para cada $\theta <1$ i $A>0$ existix una constant $C>0$ tal que

$\sum _{1\le q\le x^{\theta }}E(x;q)\le \frac{Cx}{{\log }^{A}x}$

per a tot $x>2$.

Esta conjectura va ser provada per a tot $\theta <1/2$ per Enrico Bombieri i Askold Vinográdov (segons el teorema de Bombieri-Vinográdov, a voltes conegut simplement com "teorema de Bombieri"); este resultat ya és prou útil, sent una forma promediada de la hipòtesis generalisada de Riemann. Se sap que la conjectura falla en el punt final $\theta =1$.

La conjectura de Elliott-Halberstam té vàries conseqüències. Una d'elles, prou sorprenent, és el resultat anunciat per Donen Goldston, János Pintz i Cem Iıldırım, que mostra (assumint esta conjectura) que hi ha infinits parells d'número primo que diferixen com a màxim en 16. En novembre de 2013, James Maynard va mostrar que assumint la conjectura de Elliott-Halberstam, es pot demostrar l'existència d'un número infinit de parells de cosins consecutius que diferixen com a màxim en 12. En agost de 2014, el grup Polymath va demostrar que subjecte a la conjectura de Elliott-Halberstam generalisada, es pot demostrar l'existència d'un número infinit de parells de cosins consecutius que diferixen com a màxim en 6. Sense assumir cap forma de conjectura, el llímit provat més baix és de 246.

Vore també

• Teorema de Barban-Davenport-Halberstam
• Teorema de Barban-Montgomery
• Teoria de garbells

Bibliografia

1. E. Bombieri, On the large sieve, Mathematika 12 (1965), 201–225
2. P.D.T.A. Elliot and H. Halberstam, A conjecture in prime number theory, Symp. Math. 4 (1968-1969), 59-72.
3. A.I. Vinogradov, The density hypothesis for Dirichlet L-séries (in Russian), Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 29 (1965), 903-934.

Plantilla:Conjectura sobre número primo