Conjunt cilíndric

En matemàtiques, els conjunts cilíndrics formen una base de la topología producte en un producte de conjunts; també són una família generadora de la σ-àlgebra cilíndrica.

Definició general

Donada una colecció $S$ de conjunts, considerem el producte cartesiano $X=\prod _{Y\in S}Y$ de tots els conjunts de la colecció. La «proyecció canònica» corresponent a algun $Y\in S$ és la funció $p_Y:X\to Y$ que mapea cada element del producte al seu component $Y$. Un conjunt cilíndric és una preimagen d'una proyecció canònica o una intersecció finita de tals preimágenes. Explícitament, és un conjunt de la forma $$\bigcap _{i=1}^n{p}_{Y_i}^{-1}\left(A_i\right)=\{\left(x\right)\in X\mid p_{Y_1}(x)\in A_1,\dots ,p_{Y_n}(x)\in A_n\}$$ per a qualsevol elecció de $n$, seqüència finita de conjunts $Y_1,\mathrm{...}{Y}_n\in S$ i subconjunts $A_i\subseteq Y_i$ per a $1\le i\le n$.

Llavors, quan tots els conjunts en $S$ són espais topològics, la topología producte és generada per conjunts cilíndrics corresponents als conjunts oberts dels components. És dir, cilindres de la forma ${\bigcap }_{i=1}^n{p}_{Y_i}^{-1}\left(U_i\right)$ a on, per a cada $i$, $U_i$ és obert en $Y_i$. De la mateixa manera, en el cas dels espais mesurables, l'àlgebra σ cilíndrica és la que és generada per conjunts cilíndrics corresponents als conjunts mesurables dels components.

La restricció de que el conjunt cilíndric siga l'intersecció d'un número «finito» de cilindres oberts és important; permetre interseccions infinites generalment dona com resultat una topología més fina. En este últim cas, la topología resultant és la topología de caixa; els conjunts cilíndrics mai són gavetes de Hilbert.

Conjunts cilíndrics en productes de conjunts discrets

Siga $S=\{1,2,\dots ,n\}$ un conjunt finito que conté n objectes o lletres. La colecció de totes les cadenes bi-infinites en estes lletres es denota per $$S^{\mathbb{Z}}=\{x=(\dots ,x_{-1},x_0,x_1,\dots ):x_k\in S\mathrm{\forall }k\in \mathbb{Z}\}.$$.

La topología natural en $S$ és la topología discreta. Els conjunts oberts bàsics en la topología discreta consistixen en lletres individuals; per lo tant, els cilindres oberts de la topología producte en $S^{\mathbb{Z}}$ són $$C_t[a]=\{x\in S^{\mathbb{Z}}:x_t=a\}.$$

Les interseccions d'un número finito de cilindres oberts són els «conjunts cilíndrics» $$\begin{array}{cc}{C}_t[a_0,\dots ,a_m]& =C_t[a_0]\cap C_{t+1}[a_1]\cap \cdots \cap C_{t+m}[a_m]\\ & =\{x\in S^{\mathbb{Z}}:x_t=a_0,\dots ,x_{t+m}=a_m\}\end{array}.$$

Els conjunts cilíndrics són conjunts clopen. Com a elements de la topología, els conjunts cilíndrics són, per definició, conjunts oberts. El complement d'un conjunt obert és un conjunt tancat, pero el complement d'un conjunt cilíndric és una unió de cilindres, per lo que els conjunts cilíndrics també són tancats i, per lo tant, clopen.

Vore també

• Filtre (teoria de conjunts): família de subconjunts que representen conjunts «grans».
• Filtres en topología: us de filtres per a descriure i caracterisar totes les nocions i resultats topològics bàsics.
• Àlgebra σ cilíndrica
• Proyecció (teoria de conjunts)
• Ultraproducto: construcció matemàtica.

Referències

• Plantilla:Springer