Filtres en topología

Archiu:Filter vs ultrafilter.svg

El retícul del conjunt potencia del conjunt $X:=\{1,2,3,4\},$ en la secció final $\{1,4{\}}^{\uparrow X}$ de color vert obscur. És un , i inclús un . No és un , ya que es pot estendre al filtre no trivial més gran $\{1{\}}^{\uparrow X}$ en incloure també els elements de color vert clar. Com $\{1{\}}^{\uparrow X}$ no es pot ampliar més, és un ultrafiltro

Els filtres en topología, un subcampo de les matemàtiques, es poden utilisar per a estudiar espais topològics i definir totes les nocions topològiques bàsiques com a convergència, continuïtat o compacidad entre unes atres. Els filtres, que són famílies especials de subconjunts d'un conjunt determinat, també proporcionen un marc comú per a definir varis tipos de llímits de funcions, com a llímits des de l'esquerra/dreta, fins a l'infinit, fins a un punt o un conjunt, i molts uns atres. Tipos especials de filtres cridats tenen moltes propietats tècniques útils i, a sovint, poden usar-se en lloc dels filtres arbitraris.

Els filtres tenen generalisacions anomenades (també coneguts com ) i , que apareixen de forma natural i repetida en tota la topología. Els eixemples inclouen filtres d'entorns/bases/subbases i uniformitat. Cada filtre és un prefiltro i abdós són subbases de filtres. Cada prefiltro i subbase de filtres està contingut en un filtre més chicotet únic, que es diu que és . Açò establix una relació entre filtres i prefiltros que a sovint pot explotar-se per a permetre utilisar la noció que siga tècnicament més convenient. Existix un cert preorden en famílies de conjunts, denotat per $\le ,$ que ajuda a determinar exactament quàn i cóm una noció (filtre, prefiltro o una atra) pugues o no usar-se. L'importància d'este preorden es veu amplificada pel fet de que també definix la noció de convergència de filtre, a on per definició, un filtre (o prefiltro) $ℬ$ a un punt si i solament si $𝒩\le ℬ,$ a on $𝒩$ és el filtre d'entorns d'eixe punt. En conseqüència, la subordinació també juga un paper important en molts conceptes relacionats en la convergència, com els punts d'acumulació i els llímits de funcions. Ademés, la relació $𝒮\ge ℬ,$ que es denota com $ℬ\le 𝒮$ i s'expressa dient que $𝒮$ $ℬ,$ també establix una correspondència en la que $𝒮$ és a $ℬ$ com una subsucesión a una successió (és dir, la relació $\ge ,$ que es diu de , és per a filtres l'anàlec a "ser una subsucesión de").

Varen ser introduïts per Henri Cartan en 1937 i posteriorment el colectiu de matemàtics francesos agrupat baix l'seudònim de Nicolas Bourbaki els va utilisar en el seu llibre com una alternativa a la noció similar de ret desenrollada en 1922 per E. H. Moore i H. L. Smith.

També es poden utilisar filtres per a caracterisar les nocions de convergència de successions i rets. Pero a diferència de les successions i la convergència de rets, la convergència del filtres en térmens de subconjunts de l'espai topològic $X$ i, per lo tant, proporciona una noció de convergència que és completament intrínseca a l'espai topològic. De fet, la categoria d'espais topològics pot ser equivalentemente definida enterament en térmens de filtres. Cada ret induïx un filtre canònic i, dualment, cada filtre induïx una ret canònica, a on esta ret induïda (respectivament, filtre induït) convergix a un punt si i solament si lo mateixa ocorre en el filtre original (respectivament, ret). Esta caracterisació també és vàlida per a moltes atres definicions, com la de punts d'acumulació. Estes relacions permeten alternar entre filtres i rets i, a sovint, també permeten elegir quin d'estes dos nocions (filtre o ret) és més convenient per al problema en qüestió. No obstant, suponent que les "subredes" es definixen utilisant qualsevol de les seues definicions més usuals (que són les donades per Willard i per Kelley), llavors, en general, esta relació s'estén als filtres i subredes subordinats perque, de la mateixa manera que com es detalla més alvance, existixen filtres subordinats la relació dels quals «filtre/filtre subordinat» no es pot descriure en térmens de la relació «ret/subred» corresponent. No obstant, este problema es pot resoldre utilisant una definició de "subred" menys comú, que és la de subred AA.

Per lo tant, els filtres/prefiltros i el preorden únic $\le$ proporcionen un marc que unix perfectament conceptes topològics fonamentals com espais topològics (mdiante els filtres d'entorns), bases d'entorns, convergència, varis llímits de funcions, continuïtat, compacidad, successions (a través de filtres seqüencials), filtres equivalents a "subsucesiones" (relació de subordinació) o espais uniformes entre uns atres; conceptes tots ells que d'un atre modo semblen relativament dispars i les relacions dels quals són menys clares.

Motivació

Eixemple arquetípico d'un filtre

Vore també: Filtre (teoria de conjunts)

L'eixemple arquetípico d'un filtre és el Base d'entorns $𝒩(x)$ en un punt $x$ d'un espai topològic $(X,\tau ),$ que és la família de conjunts que consta de totes els entorns de $x.$ Per definició, un entorn d'un punt donat $x$ és qualsevol subconjunt $B\subseteq X$ que el seu interior topològic continga este punt; és dir, tal que $x\in {\mathrm{Int}}_{X}B.$ És important destacar que els entorns es requerix que siguen conjunts oberts (denominats ). A continuació s'enumeren les propietats fonamentals dels filtres d'entorns que finalment es varen convertir en la definició de "filtre". Un filtre és un conjunt $ℬ$ de subconjunts de $X$ que satisfà totes les condicions següents:

1.  : $X\in ℬ$    de la mateixa manera que $X\in 𝒩(x),$ ya que $X$ és sempre un entorn de $x$ (i de qualsevol atra cosa que continga);
2.  : $\varnothing \in ̸ℬ$  aixina com cap entorn de $x$ està buit;
3.  : si $B,C\in ℬ\text{ entonces }B\cap C\in ℬ$  aixina com l'intersecció de dos entorns qualssevol de $x$ és novament un entorn de $x$;
4.  : si $B\in ℬ\text{ y }B\subseteq S\subseteq X$ llavors $S\in ℬ$  aixina com qualsevol subconjunt de $X$ que continga un entorn de $x$ un entorn de $x$ (açò es deduïx de ${\mathrm{Int}}_{X}B\subseteq {\mathrm{Int}}_{X}S$ i la definició de "un entorn de $x$").

Generalisació de la convergència de successions per mig de l'us de conjunts: determinar la convergència de successions sense la successió

Vore també: Llímit d'una successió i Ret (matemàtiques)

Una és per definició una aplicació $\mathbb{N}\to X$ des dels número natural a l'espai $X.$ La noció original de convergència en un espai topològic era la d'un successió convergent en algun punt donat en un espai, com un espai mètric. En espais metrisables (o més generalment, d'acort en el primer axioma de numerabilidad o espais de Fréchet-Urysohn), les successions solen ser suficients per a caracterisar o "descriure" la majoria de les propietats topològiques, com els tancaments de subconjunts o la continuïtat de funcions. Pero hi ha molts espais a on les successions poden usar-se per a descriure inclús propietats topològiques bàsiques com el tancament o la continuïtat. Este fallo de les successions va ser la motivació per a definir nocions com a rets i filtres, que deixen de caracterisar propietats topològiques.

Les rets generalisen directament la noció de successió, ya que són, per definició, aplicacions $I\to X$ d'un conjunt dirigit $(I,\le )$ arbitrari sobre l'espai $X.$ Una successió és simplement una ret el domini de la qual és $I=\mathbb{N}$ en l'orde natural. Les rets tenen la seua pròpia noció de convergència, que és una generalisació directa de la convergència de successions.

Els filtres generalisen la convergència de successions d'una manera diferent en considerar els valors d'una successió. Per a vore cóm es fa açò, considere's una successió $x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}\text{ en }X,$ que, per definició, és simplement una funció $x_{\bullet }:\mathbb{N}\to X$ el valor de la qual en $i\in \mathbb{N}$ es denota per $x_i$ en lloc de per la notació habitual entre paréntesis $x_{\bullet }(i)$ que s'usa comunament per a funcions arbitràries. Conéixer solament l'image (a voltes cridada "ranc") $\mathrm{Im}{x}_{\bullet }:=\{x_i:i\in \mathbb{N}\}=\{x_1,x_2,\dots \}$ de la successió no és suficient per a caracterisar la seua convergència, i es necessiten varis conjunts. Resulta que els conjunts necessaris són els següents, que es denominen de la successió $x_{\bullet }$:

$\begin{array}{cccccccccccccc}{x}_{\ge 1}=& \{& & x_1,& & x_2,& & x_3,& & x_4,& & \dots & & \}\\ x_{\ge 2}=& \{& & x_2,& & x_3,& & x_4,& & x_5,& & \dots & & \}\\ x_{\ge 3}=& \{& & x_3,& & x_4,& & x_5,& & x_6,& & \dots & & \}\\ & & & & & & & ⋮& & & & & & \\ x_{\ge n}=& \{& & x_n,& & x_{n+1},& & x_{n+2},& & x_{n+3},& & \dots & & \}\\ & & & & & & & ⋮& & & & & & \\ \end{array}$

Estos conjunts determinen completament la convergència (o no convergència) d'esta successió perque donat qualsevol punt, esta successió convergix si i solament si per a cada entorn $U$ (d'este punt), hi ha algun número entero $n$ tal que $U$ continga tots els punts $x_n,x_{n+1},\dots .$ Açò es pot reformular com:

Plantilla:In5 cada entorn $U$ deu contindre algun conjunt de la forma $\{x_n,x_{n+1},\dots \}$ com a subconjunt.

O més breument: cada entorn deu contindre alguna coa $x_{\ge n}$ com a subconjunt. És esta caracterisació la que es pot utilisar en la família de coes anterior per a determinar la convergència (o no convergència) de la successió $x_{\bullet }:\mathbb{N}\to X.$ Específicament, en la família de ' $\{x_{\ge 1},x_{\ge 2},\dots \}$ en la mà, la ' $x_{\bullet }:\mathbb{N}\to X$ ya no és necessària per a determinar la convergència d'esta successió (sense importar qué topología es coloque en $X$). En generalisar esta observació, s'amplia la noció de "convergència" de successions/funciones a les famílies de conjunts.

El conjunt anterior de coes d'una successió en general no és un filtre, pero "" un filtre prenent el seu (que consta de tots els superconjuntos de totes les coes). Lo mateixa ocorre en atres famílies importants de conjunts, com qualsevol base d'entorns en un punt donat, que en general tampoc és un filtre pero genera un filtre a través del seu tancament cap a dalt (en particular, genera el filtre d'entorns en eixe punt). Les propietats que compartixen estes famílies varen dur a la noció d'una , també cridada , que per definició és qualsevol família que té les propietats mínimes necessàries i suficients per a generar un filtre prenent el seu secció final.

Rets front a filtres: ventages i desventages

Els filtres i les rets tenen cada u les seues pròpies ventages i inconvenients i no hi ha raó per a utilisar un concepte exclusivament sobre l'atre. Depenent de lo que s'estiga comprovant, la demostració pot resultar molt més fàcil si s'utilisa una d'estes nocions en lloc de l'atra. Tant els filtres com les rets es poden utilisar per a caracterisar qualsevol topología donada per complet. Les rets són generalisacions directes de les successions i, a sovint, es poden usar de manera similar a les successions, per lo que la curva d'aprenentage de les rets sol ser molt manco pronunciada que la dels filtres. No obstant, els filtres i especialment els ultrafiltros tenen molts més usos fòra de la topología, com en teoria de conjunts, llògica matemàtica, teoria de models (ultraproductos, per eixemple), àlgebra abstracta, combinatòria, dinàmica, teoria de l'orde, espais de convergència generalisats, espais de Cauchy i en la definició i us dels números hiperreales.

De la mateixa manera que les successions, les rets són ' i, per lo tant, tenen les ventages pròpies de les . Per eixemple, de la mateixa manera que les successions, les rets es poden "conectar" a atres funcions, a on "conectar" significa simplement crear una funció composta. En conseqüència, les teoremes relacionades en funcions i composició de funcions es poden aplicar a les rets. Un eixemple és la propietat universal del llímit invers, que es definix en térmens de composició de funcions en lloc de conjunts i s'aplica més fàcilment a funcions com a rets que a conjunts com a filtres (un eixemple destacat de llímit invers és el producte cartesiano). Els filtres poden resultar incómodos d'usar en determinades situacions, com quan es canvia entre un filtre en un espai $X$ i un filtre en un subespacio dens $S\subseteq X.$.

A diferència de les rets, els filtres (i els prefiltros) són famílies de ' i, per lo tant, tenen les . Per eixemple, si $f$ és sobreyectiva, llavors la $f^{-1}(ℬ):=\{f^{-1}(B):B\in ℬ\}$ baix $f^{-1}$ d'un filtre o prefiltro arbitrari $ℬ$ es definix fàcilment i es garantisa que serà un prefiltro en el domini de $f$, mentres que està menys clar cóm en sentit invers (sense ambigüitats derivades del axioma d'elecció) una successió arbitrària (o ret) $y_{\bullet }$ per a obtindre una successió o ret en el domini (a menos que $f$ siga també inyectiva i, en conseqüència, una biyección, la qual cosa és un requisit estricte). De manera similar, l'intersecció de qualsevol colecció de filtres torna a ser un filtre, encara que no està clar qué podria significar açò per a successions o rets.

Degut a que els filtres es componen de subconjunts del mateix espai topològic $X$ que s'està considerant, es poden aplicar operacions de conjunts topològics (com el tancament o interior) als conjunts que constituïxen el filtre. A voltes és útil tancar tots els conjunts en un filtre en anàlisis funcional, per eixemple. Les teoremes i resultats sobre imàgens o preimágenes de conjunts baix una funció també poden aplicar-se als conjunts que constituïxen un filtre. Un eixemple de tal resultat podria ser un de caracterisació de la continuïtat en térmens de preimágenes de conjunts oberts/tancats o en térmens d'operadors interiors/tancats. Els tipos especials de filtres cridats tenen moltes propietats útils que poden ajudar significativament a comprovar els resultats. Una desventaja de les rets és la seua dependència dels conjunts dirigits que constituïxen els seus dominis, que en general poden no tindre cap relació en l'espai $X.$ De fet, la classe de rets en un conjunt dau $X$ és massa gran per a siquiera ser un conjunt (és una classe pròpia). Açò es deu a que les rets en $X$ poden tindre dominis de cardinalidad. Pel contrari, la colecció de tots els filtres (i de tots els prefiltros) en $X$ és un conjunt que la seua cardinalidad no és major que la de $\mathrm{\wp }(\mathrm{\wp }(X)).$ Similar a una topología en $X,$ un filtre en $X$ és "intrínsec a $X$" en el sentit de que abdós estructures en subconjunts de $X$ i cap definició requerix cap conjunt que no puga construir-se a partir de $X$ (com $\mathbb{N}$ o atres conjunts dirigits, que successions i rets requerixen).

Preliminars, notació i nocions bàsiques

Artícul principal → Filtre (teoria de conjunts).

En este artícul, les lletres romanes mayúscules com $S\text{ y }X$ denoten conjunts (pero no famílies a menos que s'indique lo contrari) i $\mathrm{\wp }(X)$ denotarà el conjunt potencia de $X.$ Un subconjunt d'un conjunt potència es diu una (o simplement, una ) a on està definida si és un subconjunt de $\mathrm{\wp }(X).$ Les famílies de conjunts s'indicaran en lletres de caligrafia mayúscules com $ℬ,𝒞,\text{ y }ℱ.$ Sempre que es necessiten estes suposicions, es deu assumir que $X$ no està buit i que $ℬ,ℱ,$ etc., són famílies de conjunts sobre $X.$

Els térmens "prefiltro" i "base de filtres" són sinònims i s'utilisaran indistintament.

Advertència sobre definicions i notacions alternatives

Llamentablement, existixen varis térmens en la teoria dels filtres que els distints autors definixen de forma diferent. Estos inclouen alguns dels térmens més importants, com "filtre". Si be les diferents definicions del mateix terme generalment tenen una superposició significativa, per la naturalea molt tècnica dels filtres (i de la topología de conjunts de punts), estes diferències en les definicions a sovint tenen conseqüències importants. En llegir texts matemàtics al respecte, es recomana que els llectors comproven cóm l'autor definix la terminologia relacionada en els filtres.

Per esta raó, en este artícul s'establixen clarament totes les definicions tal com s'utilisen. Desafortunadament, no tota la notació relacionada en els filtres està ben establida i algunes notacions varien molt segons la lliteratura (per eixemple, la notació per al conjunt de tots els prefiltros d'un conjunt), per lo que en tals casos este artícul utilisa qualsevol notació que descriga millor el terme o siga més fàcil d'escriure o de recordar.

La teoria dels filtres i dels prefiltros està ben desenrollada i té una gran cantitat de definicions i notacions, moltes de les quals s'enumeren en la finalitat de permetre una fàcil busca de notacions i definicions. Les seues propietats importants es descriuen més alvance.

Operacions en conjunts

La isotonización de l'o en $X$ d'una família de conjunts $ℬ\subseteq \mathrm{\wp }(X)$ és

i de manera similar, el de $ℬ$ és ${ℬ}^{\downarrow }:=\{S\subseteq B:B\in ℬ\}=\bigcup _{B\in ℬ}\mathrm{\wp }(B).$

Notació i definició	Nom
$\ker ℬ=\bigcap _{B\in ℬ}B$	de $ℬ$
$S\setminus ℬ:=\{S\setminus B:B\in ℬ\}=\{S\}(\setminus )ℬ$	a on $S$ és un conjunt.
$ℬ{|}_S:=\{B\cap S:B\in ℬ\}=ℬ(\cap )\{S\}$	o a on $S$ és un conjunt; a voltes denotat per $ℬ\cap S$
$ℬ(\cap )𝒞=\{B\cap C:B\in ℬ\text{ y }C\in 𝒞\}$	(a on $ℬ\cap 𝒞$ denota l'intersecció usual)
$ℬ(\cup )𝒞=\{B\cup C:B\in ℬ\text{ y }C\in 𝒞\}$	(a on $ℬ\cup 𝒞$ denota l'unió usual)
$ℬ(\setminus )𝒞=\{B\setminus C:B\in ℬ\text{ y }C\in 𝒞\}$	(a on $ℬ\setminus 𝒞$ denota el complement d'un conjunt usual)
$\mathrm{\wp }(X)=\{S:S\subseteq X\}$	d'un conjunt $X$

En tot moment, $f$ és una aplicació.

Notació i definició	Nom
$f^{-1}(ℬ)=\{f^{-1}(B):B\in ℬ\}$	de $ℬ\text{ todo }{f}^{-1},$ o la de $ℬ$ baix $f$
$f(ℬ)=\{f(B):B\in ℬ\}$	de $ℬ$ baix $f$
$\mathrm{imagen}f=f(\mathrm{dominio}f)$	(o ranc) de $f$

Notació d'topología

Denota el conjunt de totes les topología en un conjunt $X\text{ por }\mathrm{Top}(X).$ Suponga's que $\tau \in \mathrm{Top}(X),$ $S\subseteq X$ és qualsevol subconjunt i $x\in X$ és qualsevol punt.

Notació i definició	Nom
$\tau (S)=\{O\in \tau :S\subseteq O\}$	o de $S\text{ en }(X,\tau )$
$\tau (x)=\{O\in \tau :x\in O\}$	o de $x\text{ en }(X,\tau )$
${𝒩}_{\tau }(S)=𝒩(S):=\tau (S{)}^{\uparrow X}$	o de $S\text{ en }(X,\tau )$
${𝒩}_{\tau }(x)=𝒩(x):=\tau (x{)}^{\uparrow X}$	o de $x\text{ en }(X,\tau )$

Si $\varnothing \ne S\subseteq X$, llavors $\tau (S)=\bigcap _{s\in S}\tau (s)\text{ y }{𝒩}_{\tau }(S)=\bigcap _{s\in S}{𝒩}_{\tau }(s).$

Rets i les seues coes

Un és un conjunt $I$ junt en un preorden, que es denotarà per $\le$ (a menos que s'indique explícitament lo contrari), que convertix a $(I,\le )$ en un (). Açò significa que para tot $i,j\in I,$ existix algun $k\in I$ tal que $i\le k\text{ y }j\le k$ per a qualsevol parell d'índexs $i\text{ y }j,$ la notació $j\ge i$ es definix com $i\le j$ mentres que $i<j$ es definix per a significar que $i\le j$ es complix, pero és cert que $j\le i$ (si $\le$ és antisimètrica, llavors açò és equivalent a $i\le j\text{ y }i\ne j$).

Una és una aplicació d'un conjunt dirigit no buit en $X.$ La notació $x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i\in I}$ s'utilisarà per a indicar una ret en domini $I.$

Notació i definició	Nom
$I_{\ge i}=\{j\in I:j\ge i\}$	o , a on $(I,\le )$ és un conjunt dirigit.
$x_{\ge i}=\{x_j:j\ge i\text{ y }j\in I\}$	o
$\mathrm{Colas}\left(x_{\bullet }\right)=\{x_{\ge i}:i\in I\}$	o / de $x_{\bullet }.$ També cridat generat per (les coes de) $x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i\in I}.$ Si $x_{\bullet }$ és una successió, llavors $\mathrm{Colas}\left(x_{\bullet }\right)$ també és denominat .
$\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{s}\left(x_{\bullet }\right)=\mathrm{Colas}{\left(x_{\bullet }\right)}^{\uparrow X}$	() de/generat per (coes de) $x_{\bullet }$
$f\left(I_{\ge i}\right)=\{f(j):j\ge i\text{ y }j\in I\}$	o , a on $(I,\le )$ és un conjunt dirigit.

Advertència sobre l'us de la comparació estricta

Si $x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i\in I}$ és una ret i $i\in I$, llavors és possible que el conjunt $x_{>i}=\{x_j:j>i\text{ y }j\in I\},$ que es diu , estiga buit (per eixemple, açò succeïx si $i$ és una cota superior del conjunt dirigit $I$). En este cas, la família $\{x_{>i}:i\in I\}$ contindria el conjunt buit, lo que impediria que fora un prefiltro (tal com es definix més alvance). Esta és la raó (important) per a definir les $\mathrm{Colas}\left(x_{\bullet }\right)$ com $\{x_{\ge i}:i\in I\}$ en lloc de $\{x_{>i}:i\in I\}$ o inclús $\{x_{>i}:i\in I\}\cup \{x_{\ge i}:i\in I\}$ i és per esta raó que en general, quan es tracta del prefiltro de coes d'una ret, la desigualtat estricta $<$ no pot usar-se indistintament en la desigualtat $\le .$

Filtres i prefiltros

Artícul principal → Filtre (teoria de conjunts).

La següent és una llista de propietats que pot posseir una família $ℬ$ de conjunts i que formen les propietats definitorias de filtres, prefiltros i subbases de filtres. Sempre que siga necessari, es deu assumir que $ℬ\subseteq \mathrm{\wp }(X).$

Moltes de les propietats de $ℬ$ definides dalt i avall, com "pròpia" i "dirigida cap a avall", no depenen de $X,$ per lo que mencionar el conjunt $X$ és opcional quan s'utilisen dits térmens. Les definicions que impliquen estar "tancat cap a dalt en $X,$" com la de "filtrar en $X,$" depenen de $X$, per lo que es deu mencionar el conjunt $X$ si no queda clar pel context.

No hi ha prefiltros en $X=\varnothing$ (ni hi ha rets valorades en $\varnothing$), per lo que este artícul, com la majoria dels autors, assumirà automàticament sense comentaris que $X\ne \varnothing$ sempre que esta suposició siga necessària.

Eixemples bàsics

Eixemples nomenats

• El conjunt unitari $ℬ=\{X\}$ es diu o sobre $X.$ És el filtre únic en $X$ perque és un subconjunt de cada filtre en $X$. No obstant, no és necessari que siga un subconjunt de cada prefiltro en $X.$
• L'ideal dual $\mathrm{\wp }(X)$ també es diu (a pesar de no ser realment un filtre). És l'únic ideal dual en $X$ que no és un filtre en $X.$
• Si $(X,\tau )$ és un espai topològic i $x\in X,$ llavors un filtre d'entorns $𝒩(x)$ en $x$ és un filtre en $X.$ Per definició, una família $ℬ\subseteq \mathrm{\wp }(X)$ es diu (respectivament, una ) en $x\text{ para }(X,\tau )$ si i solament si $ℬ$ és un prefiltro (respectivament, $ℬ$ és una subbase de filtres) i el filtre en $X$ que genera $ℬ$ és igual al filtre d'entorns $𝒩(x).$ La subfamília $\tau (x)\subseteq 𝒩(x)$ d'entorns obertes és una base de filtres per a $𝒩(x).$ Abdós prefiltros $𝒩(x)\text{ y }\tau (x)$ també formen una base per a topología en $X,$ en la topología generada $\tau (x)$ sent més grossa que $\tau .$ Este eixemple es generalisa immediatament des d'entorns de punts a entorns de subconjunts no buits $S\subseteq X.$
• $ℬ$ és un si $ℬ=\mathrm{Colas}\left(x_{\bullet }\right)$ per a alguna successió de punts $x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}.$
• $ℬ$ és un o un sobre $X$ si $ℬ$ és un filtre sobre $X$ generat per algun prefiltro elemental. El filtre de coes generat per una successió que finalment no és constant i és necessàriament un ultrafiltro. Cada filtre principal en un conjunt numerable és una successió de la mateixa manera que cada filtre cofinito en un conjunt numerable infinit. L'intersecció d'un número finito de filtres de successions és novament una successió.
• El conjunt $ℱ$ de tots els subconjunts cofinitos de $X$ (és dir, aquells conjunts el complement dels quals en $X$ és finito) és propi si i solament si $ℱ$ és infinit (o equivalentement, $X$ és infinit), en el cas del qual $ℱ$ és un filtre en $X$ conegut com Filtre de Fréchet o en $X.$ Si $X$ és finito, llavors $ℱ$ és igual a l'ideal dual $\mathrm{\wp }(X),$ que no és un filtre. Si $X$ és infinita, llavors la família $\{X\setminus \{x\}:x\in X\}$ de complements de conjunts unitaris és una subbase de filtres que genera el filtre de Fréchet en $X.$ Com ocorre en qualsevol família de conjunts sobre $X$ que conté $\{X\setminus \{x\}:x\in X\},$ el núcleu del filtre de Fréchet en $X$ és el conjunt buit: $\ker ℱ=\varnothing .$
• L'intersecció de tots els elements en qualsevol família no buida $𝔽\subseteq \mathrm{Filtros}(X)$ és en sí mateixa un filtre en $X$, cridat o de $𝔽\text{ en }\mathrm{Filtros}(X),$ per lo que pot denotar-se com $\underset{ℱ\in 𝔽}{\bigwedge }ℱ.$ Dit d'una atra manera, $\ker 𝔽=\bigcap _{ℱ\in 𝔽}ℱ\in \mathrm{Filtros}(X).$ Ya que cada filtre en $X$ té $\{X\}$ com a subconjunt, esta intersecció mai està buida. Per definició, el mínim és el filtre més fi/més gran (en relació en $\subseteq \text{ y }\le$) contingut com un subconjunt de cada membre de $𝔽.$.
  • Si $ℬ\text{ y }ℱ$ són filtres, llavors el seu mínim en $\mathrm{Filtros}(X)$ és el filtre $ℬ(\cup )ℱ.$ Si $ℬ\text{ y }ℱ$ són prefiltros, llavors $ℬ(\cup )ℱ$ és un prefiltro que és més gros que abdós $ℬ\text{ y }ℱ$ (és dir, $ℬ(\cup )ℱ\le ℬ\text{ y }ℬ(\cup )ℱ\le ℱ$). De fet, és un dels prefiltros més fins, lo que significa que si $𝒮$ és un prefiltro tal que $𝒮\le ℬ\text{ y }𝒮\le ℱ$, llavors necessàriament $𝒮\le ℬ(\cup )ℱ.$. Més generalment, si $ℬ\text{ y }ℱ$ són famílies no buides i si $𝕊:=\{𝒮\subseteq \mathrm{\wp }(X):𝒮\le ℬ\text{ y }𝒮\le ℱ\}$, llavors $ℬ(\cup )ℱ\in 𝕊$ i $ℬ(\cup )ℱ$ són suprems de $(𝕊,\le ).$
• Deixa $\varnothing \ne 𝔽\subseteq \mathrm{I}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{D}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{s}(X)$ i deixa $\cup 𝔽=\bigcup _{ℱ\in 𝔽}ℱ.$ L'o de $𝔽\text{ en }\mathrm{I}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{D}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{s}(X),$ denotat per $\underset{ℱ\in 𝔽}{\bigvee }ℱ,$ és l'ideal dual més chicotet (en relació en $\subseteq$) en $X$ que conté cada element de $𝔽$ com un subconjunt; és dir, és l'ideal dual més chicotet (en relació en $\subseteq$) en $X$ que conté a $\cup 𝔽$ com a subconjunt. Este ideal dual és $\underset{ℱ\in 𝔽}{\bigvee }ℱ=\pi {(\cup 𝔽)}^{\uparrow X},$ a on $\pi (\cup 𝔽):=\{F_1\cap \cdots \cap F_n:n\in \mathbb{N}\text{ y cada }{F}_i\text{ pertenece a algún }ℱ\in 𝔽\}$ és el sistema Π generat per $\cup 𝔽.$ De la mateixa manera que en qualsevol família de conjunts no buida, $\cup 𝔽$ està continguda en en $X$ si i solament si és una subbase de filtres, o de manera equivalent, si i solament si $\underset{ℱ\in 𝔽}{\bigvee }ℱ=\pi {(\cup 𝔽)}^{\uparrow X}$ és un filtre en $X,$ en el cas del qual esta família és el filtre més chicotet (relatiu a $\subseteq$) en $X$ que conté cada element de $𝔽$ com un subconjunt i necessàriament $𝔽\subseteq \mathrm{Filtros}(X).$
• Sean $\varnothing \ne 𝔽\subseteq \mathrm{Filtros}(X)$ i $\cup 𝔽=\bigcup _{ℱ\in 𝔽}ℱ.$ L'o de $𝔽\text{ en }\mathrm{Filtros}(X),$ denotat per $\underset{ℱ\in 𝔽}{\bigvee }ℱ$ si existix, és per definició el més chicotet (en relació en $\subseteq$) filtre en $X$ que conté cada element de $𝔽$ com un subconjunt. Si existix, llavors necessàriament $\underset{ℱ\in 𝔽}{\bigvee }ℱ=\pi {(\cup 𝔽)}^{\uparrow X}$ (com es va definir anteriorment) i $\underset{ℱ\in 𝔽}{\bigvee }ℱ$ també seran iguals a l'intersecció de tots els filtres en $X$ que continguen a $\cup 𝔽.$ Este suprem de $𝔽\text{ en }\mathrm{Filtros}(X)$ existix si i solament si l'ideal dual $\pi {(\cup 𝔽)}^{\uparrow X}$ és un filtre en $X.$ És possible que el llímit superior mínim d'una família de filtres $𝔽$ no siga un filtre. De fet, si $X$ conté a lo manco 2 elements distints, llavors existixen filtres $ℬ\text{ y }𝒞\text{ sobre }X$ per als quals existix un filtre $ℱ\text{ sobre }X$ que continga a abdós $ℬ\text{ y }𝒞.$ Si $\cup 𝔽$ no és una subbase de filtres, llavors el suprem de $𝔽\text{ en }\mathrm{Filtros}(X)$ no existix i lo mateixa ocorre en el seu suprem en $\mathrm{Prefiltros}(X)$, pero el seu suprem en el conjunt de tots els ideals duals en $X$ existirà (sent el filtre degenerado $\mathrm{\wp }(X)$).
  • Si $ℬ\text{ y }ℱ$ són prefiltros (respectivament, filtres en $X$), llavors $ℬ(\cap )ℱ$ és un prefiltro (respectivament, un filtre) si i solament si no és degenerado (o dit d'una atra manera, si i solament si $ℬ\text{ y }ℱ$ concorden), en el cas de la qual és un dels (respectivament, ) en $X$ que és més fi (sobre $\le$) que abdós $ℬ\text{ y }ℱ.$ Açò significa que si $𝒮$ és qualsevol prefiltro (respectivament, qualsevol filtre) tal que $ℬ\le 𝒮\text{ y }ℱ\le 𝒮$, llavors necessàriament $ℬ(\cap )ℱ\le 𝒮,$ en el cas del qual es denota per $ℬ\vee ℱ.$

Atres eixemples

• Siga $X=\{p,1,2,3\}$ i considere's que $ℬ=\{\{p\},\{p,1,2\},\{p,1,3\}\},$ lo que convertix a $ℬ$ en un prefiltro i una subbase de filtres que no està tancada baix interseccions finitas. Degut a que $ℬ$ és un prefiltro, el prefiltro més chicotet que conté a $ℬ$ és $ℬ.$ El sistema Π generat per $ℬ$ és $\{\{p,1\}\}\cup ℬ.$ En particular, el prefiltro més chicotet que conté a la subbase de filtres $ℬ$, és igual al conjunt de totes les interseccions finitas de conjunts en $ℬ.$ El filtre en $X$ generat per $ℬ$ és ${ℬ}^{\uparrow X}=\{S\subseteq X:p\in S\}=\{\{p\}\cup T:T\subseteq \{1,2,3\}\}.$ Els tres $ℬ,$ que genera el sistema Π$ℬ$, i ${ℬ}^{\uparrow X}$ són eixemples de valors fixos, principals, ultra prefiltros que són principals en el punt $p;{ℬ}^{\uparrow X}$ i que també són un ultrafiltros en $X.$
• Siga $(X,\tau )$ un espai topològic, $ℬ\subseteq \mathrm{\wp }(X),$ i definixca's $\overline{ℬ}:=\{{\mathrm{cl}}_{X}B:B\in ℬ\},$ a on $ℬ$ és necessàriament més fi que $\overline{ℬ}.$ Si $ℬ$ no està buit (respectivament, no degenerado, una subbase de filtre, un prefiltro, tancat baix unions finitas), llavors lo mateixa s'aplica a $\overline{ℬ}.$ Si $ℬ$ és un filtre en $X$, llavors $\overline{ℬ}$ és un prefiltro pero no necessàriament un filtre en $X$, encara que ${\left(\overline{ℬ}\right)}^{\uparrow X}$ és un filtre en $X$ equivalent a $\overline{ℬ}.$
• El conjunt $ℬ$ de tots els subconjunts oberts densos d'un espai topològic (no buit) $X$ és un sistema Π propi i, per lo tant, també un prefiltro. Si l'espai és un espai de Baire, llavors el conjunt de totes les interseccions numerables de subconjunts oberts densos és un sistema Π i un prefiltro que és més fi que $ℬ.$ Si $X={ℝ}^n$ (en $1\le n\in \mathbb{N}$), llavors el conjunt ${ℬ}_{\mathrm{LebFinito}}$ de tots els $B\in ℬ$ tal que $B$ té mida de Lebesgue finita és un sistema Π propi i un prefiltro lliure que també és un subconjunt de $ℬ.$ Els prefiltros ${ℬ}_{\mathrm{LebFinito}}$ i $ℬ$ són equivalents i, per lo tant, generen el mateix filtre en $X.$ El prefiltro ${ℬ}_{\mathrm{LebFinito}}$ està correctament contingut en el prefiltro que consta de tots els subconjunts oberts densos de $ℝ$, i no és equivalent a ell. Ya que $X$ és un espai de Baire, cada intersecció numerable de conjunts en ${ℬ}_{\mathrm{LebFinito}}$ és densa en $X$ (i també coexigua i no escassa), per lo que el conjunt de totes les interseccions numerables d'elements de ${ℬ}_{\mathrm{LebFinito}}$ és un prefiltro i un sistema Π, i també és més fi que ${ℬ}_{\mathrm{LebFinito}}$
i no és equivalent a ell.

Ultrafiltros

Artícul principal → Ultrafiltro (teoria de conjunts).

Hi ha moltes atres caracterisació de "ultrafiltro" i "ultra prefiltro", que s'enumeren en l'artícul sobre ultrafiltros. En eixe artícul també es descriuen propietats importants dels ultrafiltros.

Lema del ultrafiltro

La següent teorema important es deu a Alfred Tarski (1930).

Una conseqüència del lema dels ultrafiltros és que cada filtre és igual a l'intersecció de tots els ultrafiltros que ho contenen. Suponent els axioma de Zermelo–Fraenkel (ZF), el lema del ultrafiltro es deriva del axioma d'elecció (en particular, del lema de Zorn) pero és estrictament més dèbil que ell. El lema del ultrafiltro implica l'axioma d'elecció per a conjunts finitos. Si s'opera en espais d'Hausdorff, llavors la majoria dels resultats bàsics (com els que es troben en els cursos introductoris) en topología (com el teorema de Tíjonov per a espais compactes de Hausdorff i subbases) i en anàlisis funcional (com el teorema de Hahn–Banach) es poden provar usant solament el lema del ultrafiltro, i vaig poder no ser necessària tota la força de l'axioma d'elecció.

Núcleus

El núcleu és útil per a classificar propietats de prefiltros i atres famílies de conjunts.

Si $ℬ\subseteq \mathrm{\wp }(X)$, llavors $\ker \left({ℬ}^{\uparrow X}\right)=\ker ℬ$, i este conjunt també és igual al núcleu del sistema Π generat per $ℬ.$ En particular, si $ℬ$ és una subbase de filtres, llavors els núcleus de tots els següents conjunts són iguals:

(1) $ℬ,$ (2) el sistema Π generat per $ℬ,$ i (3) el filtre generat per $ℬ.$

Si $f$ és una aplicació, llavors $f(\ker ℬ)\subseteq \ker f(ℬ)\text{ y }{f}^{-1}(\ker ℬ)=\ker f^{-1}(ℬ).$ Les famílies equivalents tenen núcleus iguals. Dos famílies principals són equivalents si i solament si els seus núcleus són iguals.

Classificació de famílies pels seus núcleus

Si $ℬ$ és un filtre principal en $X$, llavors $\varnothing \ne \ker ℬ\in ℬ$ i $ℬ=\{\ker ℬ{\}}^{\uparrow X}$ i $\{\ker ℬ\}$ és també el prefiltro més chicotet que genera $ℬ.$

Família d'eixemples: Per a qualsevol $C\subseteq ℝ,$ no buit, la família ${ℬ}_C=\{ℝ\setminus (r+C):r\in ℝ\}$ és lliure pero és una subbase de filtres si i solament si cap unió finita de la forma $(r_1+C)\cup \cdots \cup (r_n+C)$ recobrix $ℝ,$ en el cas de la qual el filtre que genere també serà lliure. En particular, ${ℬ}_C$ és una subbase de filtres si $C$ és numerable (per eixemple, $C=\mathbb{Q},\mathbb{Z},$ els cosins), un conjunt exigu en $ℝ,$ és un conjunt de mida finita o un subconjunt acotat de $ℝ.$ Si $C$ és un conjunt unitari, llavors ${ℬ}_C$ és una subbase per a un filtre de Fréchet en $ℝ.$

Caracterisació d'ultra prefiltros fixos

Si una família de conjunts $ℬ$ és fixa (és dir, $\ker ℬ\ne \varnothing$), llavors $ℬ$ és ultra si i solament si algun element de $ℬ$ és un conjunt unitari, en el cas del qual $ℬ$ serà necessàriament un prefiltro. Cada prefiltro principal és fix, per lo que un prefiltro principal $ℬ$ és ultra si i solament si $\ker ℬ$ és un conjunt unitari.

Cada filtre en $X$ que és principal en un sol punt és un ultrafiltro, i si ademés $X$ és finito, llavors no hi ha ultrafiltros en $X$ a banda d'estos.

La següent teorema mostra que cada ultrafiltro cau en una de dos categories: o és lliure o és un filtre principal generat per un sol punt.

Més fi/més gros, subordinació i concordancia

El preorden $\le$ que es definix a continuació és de fonamental importància per a l'us de prefiltros (i filtres) en topología. Per eixemple, este preorden s'utilisa per a definir el prefiltro equivalent a "subsucesión", a on "$ℱ\ge 𝒞$" pot interpretar-se com que "$ℱ$ és una subsucesión de $𝒞$" (per lo que "subordinat a" és l'equivalent per a un prefiltro de "subsucesión de"). També s'utilisa per a definir la convergència del prefiltro en un espai topològic. La definició de $ℬ$ encaixa en $𝒞,$ que està estretament relacionada en el preorden $\le ,$ i s'utilisa en topología per a definir punts d'acumulació.

Que dos famílies de conjunts $ℬ\text{ y }𝒞$ i són , s'indica escrivint $ℬ\mathrm{\#}𝒞,$ si $B\cap C\ne \varnothing \text{ para todo }B\in ℬ\text{ y }C\in 𝒞.$ Si $ℬ\text{ y }𝒞$ no concorden, llavors es diu que estan . Si $S\subseteq X\text{ y }ℬ\subseteq \mathrm{\wp }(X)$, llavors $ℬ\text{ y }S$ es diu que si $ℬ\text{ y }\{S\}$ concorden, o equivalentement, si la de $ℬ\text{ sobre }S,$ que és la família

$ℬ{|}_S=\{B\cap S:B\in ℬ\},$

no conté el conjunt buit, a on la traça també es denomina de $ℬ\text{ a }S.$

Eixemple: Si $x_{i_{\bullet }}={\left(x_{i_n}\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ és una subsucesión de $x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$, llavors $\mathrm{Colas}\left(x_{i_{\bullet }}\right)$ està subordinada a $\mathrm{Colas}\left(x_{\bullet }\right).$ Expressat simbòlicament, $\mathrm{Colas}\left(x_{i_{\bullet }}\right)⊢\mathrm{Colas}\left(x_{\bullet }\right)$ i també $\mathrm{Colas}\left(x_{\bullet }\right)\le \mathrm{Colas}\left(x_{i_{\bullet }}\right).$ Dit en térmens senzills, el prefiltro de coes d'una subsucesión sempre està subordinat al de la successió original. Per a vore açò, suponga's que $C:=x_{\ge i}\in \mathrm{Colas}\left(x_{\bullet }\right)$ siga arbitrari (o, equivalentement, que $i\in \mathbb{N}$ siga arbitrari) i queda per demostrar que este conjunt conté una miqueta de $F:=x_{i_{\ge n}}\in \mathrm{Colas}\left(x_{i_{\bullet }}\right).$ Per a que el conjunt $x_{\ge i}=\{x_i,x_{i+1},\dots \}$ continga a $x_{i_{\ge n}}=\{x_{i_n},x_{i_{n+1}},\dots \},$ és suficient que $i\le i_n.$ Ya que $i_1<i_2<\cdots$ són número entero estrictament creixents, existix $n\in \mathbb{N}$ tal que $i_n\ge i,$ i, per lo tant, $x_{\ge i}\supseteq x_{i_{\ge n}}$ es complix, segons es volia demostrar.

En consecuncia, $\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{s}\left(x_{\bullet }\right)\subseteq \mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{s}\left(x_{i_{\bullet }}\right).$ El costat esquerre de l'equació serà un subconjunt del costat dret si (per eixemple) cada punt de $x_{\bullet }$ és únic (és dir, quan $x_{\bullet }:\mathbb{N}\to X$ és inyectivo) i $x_{i_{\bullet }}$ és la subsucesión $(x_2,x_4,x_6,\dots )$ en índex parell perque, en estes condicions, cada coa $x_{i_{\ge n}}=\{x_{2n},x_{2n+2},x_{2n+4},\dots \}$ (per a cada $n\in \mathbb{N}$) de la subsucesión, pertanydrà al filtre del costat dret pero no al filtre del costat esquerre.

Un atre eixemple. Si $ℬ$ és qualsevol família, llavors $\varnothing \le ℬ\le ℬ\le \{\varnothing \}$ sempre es manté i, ademés, $\{\varnothing \}\le ℬ\text{ si y solo si }\varnothing \in ℬ.$

Una família no buida que siga més grossa que una subbase de filtres deu ser en sí mateixa una subbase de filtres. Cada subbase de filtres és més grossa que tant el sistema Π que genera com el filtre que genera.

Si $𝒞\text{ y }ℱ$ són famílies tals que $𝒞\le ℱ,$ la família $𝒞$ és ultra, i $\varnothing \in ̸ℱ,$ llavors $ℱ$ és necessàriament ultra. D'això es deduïx que qualsevol família que siga equivalent a una família ultra necessàriament ultra. En particular, si $𝒞$ és un prefiltro, llavors tant $𝒞$ com el filtre ${𝒞}^{\uparrow X}$ que genera són ultra, o cap és ultra.

La relació $\le$ és reflexiva i transitiva, lo que la convertix en un preorden en $\mathrm{\wp }(\mathrm{\wp }(X)).$. La relació $\le \text{ sobre }\mathrm{Filtros}(X)$ és antisimètrica, pero si $X$ té més d'un punt llavors és simètrica.

Famílies equivalents de conjunts

El preorden $\le$ induïx el seu relació d'equivalència canònica en $\mathrm{\wp }(\mathrm{\wp }(X)),$ a on para tot $ℬ,𝒞\in \mathrm{\wp }(\mathrm{\wp }(X)),$ $ℬ$ és a $𝒞$ si es complix alguna de les següents condicions equivalents:

1. $𝒞\le ℬ\text{ y }ℬ\le 𝒞.$
2. Els tancaments cap a dalt de $𝒞\text{ y }ℬ$ són iguals.

Dos subconjunts tancats cap a dalt (en $X$) de $\mathrm{\wp }(X)$ són equivalents si i solament si són iguals. Si $ℬ\subseteq \mathrm{\wp }(X)$, llavors necessàriament $\varnothing \le ℬ\le \mathrm{\wp }(X)$ i $ℬ$ és equivalent a ${ℬ}^{\uparrow X}.$ Cada classe d'equivalència distinta de $\{\varnothing \}$ conté un representant únic (és dir, un element de la classe d'equivalència) que està tancat cap a dalt en $X.$.

Propietats preservades entre famílies equivalents

Siga $ℬ,𝒞\in \mathrm{\wp }(\mathrm{\wp }(X))$ arbitrari i siga $ℱ$ qualsevol família de conjunts. Si $ℬ\text{ y }𝒞$ són equivalents (lo que implica que $\ker ℬ=\ker 𝒞$), llavors per a cada una de les afirmacions/propietats enumerades a continuació, o és verdadera per a $ℬ\text{ y }𝒞$ o és falsa per a $ℬ\text{ y }𝒞$:

1. No buit
2. Propi (és dir, $\varnothing$ no és un element)
   • Ademés, dos famílies degeneradas qualssevol són necessàriament equivalents.
3. Subbase de filtres
4. Prefiltro
   • En este cas, $ℬ\text{ y }𝒞$ generen el mateix filtre en $X$ (és dir, els seus tancaments cap a dalt en $X$ són iguals).
5. Lliure
6. Dirigit
7. Ultra
8. Igual al filtre trivial $\{X\}$
   • En atres paraules, açò significa que l'únic subconjunt de $\mathrm{\wp }(X)$ que és equivalent al filtre trivial el filtre trivial. En general, esta conclusió d'igualtat no s'estén a filtres no trivials (una excepció és quan abdós famílies són filtres).
9. Concordant en $ℱ$
10. Ser més fina que $ℱ$
11. Ser més grossa que $ℱ$
12. Ser equivalent a $ℱ$

En la llista anterior falta la paraula "filtre", perque esta propietat és conservada per l'equivalència. No obstant, si $ℬ\text{ y }𝒞$ són filtres en $X,$ llavors són equivalents si i solament si són iguals. Esta caracterisació s'estén als prefiltros.

Equivalència de prefiltros i subbases de filtres

Si $ℬ$ és un prefiltro en $X$, llavors les següents famílies sempre són equivalents entre sí:

1. $ℬ$
2. El sistema Π generat per $ℬ$
3. El filtre en $X$ generat per $ℬ$

i ademés, estes tres famílies generen el mateix filtre en $X$ (és dir, els tancaments ascendents en $X$ d'estes famílies són iguals).

En particular, cada prefiltro és equivalent al filtre que genera. Per transitividad, dos prefiltros són equivalents si i solament si generen el mateix filtre. Cada prefiltro equival exactament a un filtre en $X,$ que és el filtre que genera (és dir, el tancament cap a dalt del prefiltro). Dit d'una atra manera, cada classe d'equivalència de prefiltros conté exactament un representant que és un filtre. D'esta manera, els filtres poden considerar-se simplement elements diferenciats d'estes classes d'equivalència de prefiltros.

Una subbase de filtre que siga també un prefiltro, pot ser equivalent al prefiltro (o filtre) que genera. En canvi, cada prefiltro equival al filtre que genera. Esta és la raó per la que els prefiltros poden, en general, usar-se indistintament en els filtres que generen, mentres açò no es pot fer en les subbases de filtres

Vore també

• Caracterisació de la categoria d'espais topològics
• Espai de convergència
• Filtració (àlgebra abstracta)
• Filtració (teoria de la provabilitat)
• Filtre de Fréchet
• Filtre genèric
• Ideal (teoria de conjunts)

• Compactación de Stone-Čech
• Teorema fonamental dels ultraproductos

Bibliografia

• (2009) Introduction to Topology: Pure and Applied, New Delhi: Pearson Education. OCLC 789880519. ISBN 978-81-317-2692-1.
• (1984) Fundamentals of General Topology: Problems and Exercises (vol. 13), Dordrecht Boston: D. Reidel. OCLC 9944489. ISBN 978-90-277-1355-1.
• Berberian, Sterling K. (1974). Lectures in Functional Analysis and Operator Theory (vol. 15), New York: Springer. OCLC 878109401. ISBN 978-0-387-90081-0.
• Bourbaki, Nicolas (1989). General Topology: Chapters 1–4, Berlin New York: Springer Science & Business Mija. OCLC 18588129. ISBN 978-3-540-64241-1.
• (1989) General Topology 2: Chapters 5–10 (vol. 4), Berlin New York: Springer Science & Business Mija. OCLC 246032063. ISBN 978-3-540-64563-4.
• Bourbaki, Nicolas (1987). Topological Vector Spaces: Chapters 1–5, Berlin New York: Springer-Verlag. OCLC 17499190. ISBN 3-540-13627-4.
• (2012) A Course in Universal Algebra, Springer-Verlag. ISBN 978-0-9880552-0-9.
• Cartan, Henri (1937a). “Théorie dones filtres”. Comptes Rendus Hebdomadaires dones Séances de l'Academie dones Sciences 205: 595–598.
• Cartan, Henri (1937b). “Filtres et ultrafiltres”. Comptes Rendus Hebdomadaires dones Séances de l'Academie dones Sciences 205: 777–779.
• (1974) The Theory of Ultrafilters (vol. 211), Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag. OCLC 1205452. ISBN 978-0-387-06604-2.
• (1978) General topology, Bristol England: Adam Hilger Ltd. OCLC 4146011. ISBN 0-85274-275-4.
• Dixmier, Jacques (1984). General Topology, New York: Springer-Verlag. OCLC 10277303. ISBN 978-0-387-90972-1.

• (2016) Convergence Foundations Of Topology, New Jersey: World Scientific Publishing Company. OCLC 945169917. ISBN 978-981-4571-52-4.
• Dugundji, James (1966). Topology, Boston: Allyn and Bacon. OCLC 395340485. ISBN 978-0-697-06889-7.
• (1988) Linear Operators, 1st edició (vol. 1), New York: Wiley-Interscience. OCLC 18412261. ISBN 978-0-471-60848-6.
• Edwards (1995). Functional Analysis: Theory and Applications, New York: Dover Publications. OCLC 30593138. ISBN 978-0-486-68143-6.
• Howes, Norman R. (1995-06-23). Modern Analysis and Topology, New York: Springer-Verlag Science & Business Mija. OCLC 31969970. ISBN 978-0-387-97986-1.
• Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces, Stuttgart: B.G. Teubner. OCLC 8210342. ISBN 978-3-519-02224-4.
• Jech, Thomas (2006). Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded, Springer Science & Business Mija. OCLC 50422939. ISBN 978-3-540-44085-7.
• Joshi, K. D. (1983). Introduction to General Topology, New York: John Wiley and Sons Ltd. OCLC 9218750. ISBN 978-0-85226-444-7.
• Kelley, John L. (1975). General Topology (vol. 27), New York: Springer Science & Business Mija. OCLC 338047. ISBN 978-0-387-90125-1.
• Köthe, Gottfried (1983). Topological Vector Spaces I (vol. 159), New York: Springer Science & Business Mija. OCLC 840293704. ISBN 978-3-642-64988-2.
• MacIver R., David. «Filters in Analysis and Topology». (Proporciona una revisió introductòria de filtres en topología i espais mètrics).
• Narici, Lawrence (2011). Topological Vector Spaces, Second edició, Boca Raton, FL: CRC Press. OCLC 144216834. ISBN 978-1584888666.
• (1980) Topological Vector Spaces (vol. 53), Cambridge England: Cambridge University Press. OCLC 589250. ISBN 978-0-521-29882-7.
• Schaefer, Helmut H. (1999). Topological Vector Spaces, Second edició (vol. 8), New York, NY: Springer New York Imprint Springer. OCLC 840278135. ISBN 978-1-4612-7155-0.

• (1996) Handbook of Analysis and Its Foundations, Sant Diego, CA: Academic Press. OCLC 175294365. ISBN 978-0-12-622760-4.
• Schubert, Horst (1968). Topology, London: Macdonald & Co. OCLC 463753. ISBN 978-0-356-02077-8.
• Trèves, François (2006). Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Mineola, N.Y.: Dover Publications. OCLC 853623322. ISBN 978-0-486-45352-1.
• Wilansky, Albert (2008-10-17). Topology for Analysis, Mineola, New York: Dover Publications, Inc. OCLC 227923899. ISBN 978-0-486-46903-4.
• Willard, Stephen (2004). General Topology, Mineola, N.Y.: Dover Publications. OCLC 115240. ISBN 978-0-486-43479-7.