Constant de Copeland-Erdős

La constant de Copeland-Erdős és una constant formada per la concatenació de "0," i la successió ordenada dels número primo en base 10. El seu valor és aproximadament

0,235711131719232931374143… Plantilla:OEIS.

Esta constant és irracional. Pel teorema de Dirichlet sobre cosins en progressions aritmètiques, per a cada m existixen número primo de la forma

$k10^{m+1}+1.$

D'açò es deduïx que existixen número primo l'expressió decimal dels quals conté a lo manco m zeros seguits d'un u. Per tant, l'expressió decimal de la constant de Copeland-Erdős conté seqüències arbitrariamente llargues de zeros seguits d'un un, i per tant no pot terminar mai i tampoc pot ser periòdica. La conclusió és que la constant és irracional (Hardy i Wright, pág. 113).

Per un argument similar, qualsevol constant creada per la concatenació de "0," i tots els cosins d'una progressió aritmètica $d\cdot n+a$, a on a és coprimo en d i 10, és irracional. Per eixemple, la concatenació dels número primo de la forma $4n+1$ o $8n-1$. Per la teorema de Dirichlet, la progressió aritmètica $d\cdot n\cdot 10^m+a$ conté cosins per a tot m, i eixos cosins també estan en $d\cdot n+a$, aixina que la concatenació de cosins conté seqüències arbitrariamente llargues de zeros.

En base 10 la constant és un número normal, un fet demostrat per Arthur Herbert Copeland i Paul Erdős en 1946 (d'ahí el nom de la constant).

La constant ve donada per esta fòrmula:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}p(n)10^{-(n+\sum _{k=1}^n\lfloor {\log }_{10}p(k)\rfloor )}$

a on p(n) és el n-ésimo número primo.

La seua expressió en fracció contínua és [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …] (Plantilla:OEIS2).

Referències

• Hardy G. H. i E. M. Wright (1938) An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press, USA; 5ª edició (17 d'abril de 1980). ISBN 0-19-853171-0.
• Copeland-Erdős Constant en MathWorld.

Vore també

• Números de Smarandache-Wellin: el valor truncat d'esta constant multiplicada per la potència de 10 apropiada.