Constant de Gauss

En matemàtica, la constant de Gauss, denotada per mig de la lletra G, és definida com l'inversa de la mija aritmètic-geomètrica de 1 i la raïl quadrada de 2:

$G=\frac{1}{\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{m}(1,\sqrt{2})}=0,8346268\dots$

La constant és aixina cridada en honor a Carl Friedrich Gauss, qui, el 30 de maig de 1799, va descobrir que

$G=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}$

aixina que:

$G=\frac{1}{2\pi }\mathrm{B}(\begin{array}{c}\frac{1}{4}\end{array},\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array})$

a on B denota la funció beta de Euler.

Relacions en atres constants

La constant de Gauss pot ser usada per a expressar el valor particular de la funció gamma si l'argument és 1/4:

$\Gamma (\begin{array}{c}\frac{1}{4}\end{array})=\sqrt{2G\sqrt{2{\pi }^3}}$

i lloc que π i Γ(1/4) són algebraicamente independents en Γ(1/4) i irracionals, la constant de Gauss és també un número trascendente.

Constants de la lemniscata

La constants de Gauss també pot ser usada en la definició de les constants de la lemniscata; la primera d'estes és:

$L_1=\pi G$

i la segona constant:

$L_2=\frac{1}{2G}$

les quals es plantegen en problemes de càlcul de llongitut d'arc d'una lemniscata.

Atres fòrmules

Una fòrmula que expressa G en térmens funcions theta de Jacobi és la següent:

$G={\vartheta }_{01}^2(e^{-\pi })$

També hi ha representacions en forma de séries de convergència ràpida, com pot ser la següent:

$G=\sqrt[4]{32}{e}^{-\frac{\pi }{3}}{(\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{e}^{-2n\pi (3n+1)})}^2.$

La constant pot ser expressada també per mig d'un producte infinit

$G=\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{\tanh }^2\left(\frac{\pi m}{2}\right).$

aixina com en forma de fracció contínua per mig de la següent seqüència: [0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, …].

Referències

• Gauss's Constant.html en MathWorld.
• Plantilla:OEIS
• Plantilla:OEIS