Corrent de provabilitat

En mecànica quàntica, la (densitat de) corrent de provabilitat (a voltes cridada fluix de provabilitat) és una cantitat matemàtica que descriu el fluix de provabilitat. Més específicament, si es concep la provabilitat com un decorregut heterogéneu, llavors la corrent de provabilitat és la taxa de fluix d'este decorregut.

Matemàticament, la corrent de provabilitat és un vector real que canvia en l'espai i el temps. Les corrents de provabilitat són anàlogues al densitat de corrent de masses en hidrodinàmica i a la densitat de corrent elèctrica en electromagnetisme. Com en eixos camps, la corrent de provabilitat està relacionada en la funció de densitat de provabilitat per mig d'una equació de continuïtat. La corrent de provabilitat és invariante baix transformació gauge. El concepte de corrent de provabilitat també s'utilisa fòra de la mecànica quàntica, quan es tracta de funcions de densitat de provabilitat que canvien en el temps, per eixemple en el moviment browniano i l'equació de Fokker-Planck.

Definició (3-corrent no-relativista)

Partícula lliure d'espin 0

En mecànica quàntica no relativista, la corrent de provabilitat j de la funció d'ona $\Psi$ d'una partícula de massa $m$ en una dimensió es definix com

$$j=\frac{\hslash }{2mi}({\Psi }^{*}\frac{\partial \Psi }{\partial x}-\Psi \frac{\partial {\Psi }^{*}}{\partial x})=\frac{\hslash }{m}\mathrm{\Re }\left\{{\Psi }^{*}\frac{1}{i}\frac{\partial \Psi }{\partial x}\right\}=\frac{\hslash }{m}\mathrm{\Im }\left\{{\Psi }^{*}\frac{\partial \Psi }{\partial x}\right\},$$

a on ${\Psi }^{*}$ denota el complex conjugat de la funció d'ona, $\mathrm{\Re }$ denota la part real, i $\mathrm{\Im }$ denota la part imaginària. Note's que la corrent de provabilitat és proporcional a un Wronskiano $W(\Psi ,{\Psi }^{*})$. En tres dimensions, lo anterior es generalisa com:

$$𝐣=\frac{\hslash }{2mi}({\Psi }^{*}\mathrm{\nabla }\Psi -\Psi \mathrm{\nabla }{\Psi }^{*})=\frac{\hslash }{m}\mathrm{\Re }\left\{{\Psi }^{*}\frac{\mathrm{\nabla }}{i}\Psi \right\}=\frac{\hslash }{m}\mathrm{\Im }\left\{{\Psi }^{*}\mathrm{\nabla }\Psi \right\},$$

a on $\hslash$ és la constant de Planck reduïda, $m$ és la massa de la partícula, $\Psi$ és la funció d'ona, i $\mathrm{\nabla }$ denota el gradient o operador. Açò es pot simplificar en térmens del operador de moment llineal,

$$\widehat{𝐩}=-i\hslash \mathrm{\nabla }$$

per a obtindre

$$𝐣=\frac{1}{2m}({\Psi }^{*}\widehat{𝐩}\Psi -\Psi \widehat{𝐩}{\Psi }^{*})$$

Estes definicions utilisen la base de posició (és dir, per a una funció d'ona en l'espai de posició), pero és possible l'espai de moment.

Partícula d'espin 0 en un camp electromagnètic

AP La definició anterior deu ser modificada per a un sistema en un camp electromagnètic extern. En unitats de el SI, una partícula carregada de massa m i càrrega elèctrica q inclou un terme per l'interacció en el camp electromagnètic;

$$𝐣=\frac{1}{2m}[({\Psi }^{*}\widehat{𝐩}\Psi -\Psi \widehat{𝐩}{\Psi }^{*})-2q𝐀|\Psi {|}^2]$$

a on A = A(r, t) és el potencial magnètic. El terme q·A té dimensions de moment. Observe's que $\widehat{𝐩}=-i\hslash \mathrm{\nabla }$ utilisat ací és el moment canònic i no és invariante gauge, a diferència de l'operador de moment. $\widehat{𝐏}=-i\hslash \mathrm{\nabla }-q𝐀$. En unitats gaussianas:

$$𝐣=\frac{1}{2m}[({\Psi }^{*}\widehat{𝐩}\Psi -\Psi \widehat{𝐩}{\Psi }^{*})-2\frac{q}{c}𝐀|\Psi {|}^2]$$

a on c és la velocitat de la llum.

Vore també

• Densitat de corrent

Referències

Bibliografia

• Resnick, R. (1985). Quàntum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles, 2nd edició, John Wiley & Sons. ISBN 0-471-87373-X.