Cuasi norma

En àlgebra llineal, anàlisis funcional i àrees relacionades de les matemàtiques, una cuasi norma (terme també escrit en ocasions com cuasinorma, cuasi-norma o casi norma), és una aplicació que satisfà els axioma d'una norma llevat la desigualtat triangular, que es reemplaça per:

$\Vert x+y\Vert \le K(\Vert x\Vert +\Vert y\Vert )$

per a alguns $K>1.$

Definició

Una en un espai vectorial $X$ és una aplicació de valor real $p$ en $X$ que satisfà les següents condicions:

1.  : $p\ge 0;$
2.  : $p(sx)=|s|p(x)$ per a tots els $x\in X$ i tots els escalares $s;$
3. Existix un $k\ge 1$ real tal que $p(x+y)\le k[p(x)+p(y)]$ per a tots els $x,y\in X.$
   • Si $k=1$, llavors esta desigualtat es reduïx a la desigualtat triangular. És en este sentit que esta condició generalisa la desigualtat triangular habitual.

Una és una cuasi seminorma que també satisfà:

4. Definida positiva/Plantilla:Anclavis: si $x\in X$ satisfà $p(x)=0,$ llavors $x=0.$

Un parell $(X,p)$ que consta d'un espai vectorial $X$ i una cuasi seminorma associada $p$, es denomina Si la cuasi-seminorma és una cuasinorma, també es diu

Multiplicador

l'ínfim de tots els valors de $k$ que satisfan la condició (3) es diu de $p.$ El multiplicador en sí també satisfarà la condició (3), per lo que és l'únic número real més chicotet que satisfà esta condició. El terme s'utilisa a voltes per a descriure una cuasi seminorma que el seu multiplicador és igual a $k.$

Una (respectivament, una ) és precisament una cuasi norma (respectivament, una cuasi seminorma) que el seu multiplicador és $1.$ Aixina, cada seminorma és una cuasi seminorma i cada norma és una cuasi norma (i una cuasi seminorma).

Topología

Si $p$ és una cuasinorma en $X$, llavors $p$ induïx una topología vectorial en $X$ la base de la qual d'entorns en l'orige està donada pels conjunts:

$\{x\in X:p(x)<1/n\}$

ya que $n$ comprén els número entero positius. Un espai vectorial topològic en dita topología es diu o simplement .

Tot espai vectorial topològic cuasinormado és pseudometrisable.

Un espai cuasinormado complet es diu Tot Espai de Banach és un espai cuasi-Banach, encara que no a l'inversa.

Definicions relacionades

Vore també: Àlgebra de Banach

Un espai cuasinormado $(A,\Vert \cdot \Vert )$ es diu si l'espai vectorial $A$ és un àlgebra i existix una constant $K>0$ tal que

$\Vert xy\Vert \le K\Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert$

per a tot $x,y\in A.$

Un àlgebra cuasi normada completa es diu

Caracterisació

Un espai vectorial topològic (EVT) és un espai cuasi normado si i solament si posseïx un entorn acotada de l'orige.

Vore també

• Espai vectorial topològic metrisable
• Norma vectorial
• Seminorma
• Espai vectorial topològic

Bibliografia

• (2001) Handbook of the History of General Topology (en en), Springer. ISBN 0-7923-6970-X.
• Conway, John B. (1990). A Course in Functional Analysis (en en), Springer. ISBN 0-387-97245-5.

• “

Per favor, specifica le parametro title. {{{title}}}” . Studia Mathematica 84 (3): 297–324. doi:10.4064/sm-84-3-297-324. ISSN 0039-3223.

• (1992) Functional Analysis I: Linear Functional Analysis (vol. 19) (en en), Springer. ISBN 3-540-50584-9.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis, Second edició (vol. 8) (en en), New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. OCLC 21163277. ISBN 978-0-07-054236-5.
• Swartz, Charres (1992). An Introduction to Functional Analysis (en en), CRC Press. ISBN 0-8247-8643-2.