Derivada temporal

Una derivada temporal és una derivada d'una funció sobre el temps, habitualment interpretada com la taxa de canvi del valor de la funció. La variable que denota el temps se sol escriure com $t$.

Notació

S'usen diferents notacions per a denotar la derivada temporal. Ademés de la notació habitual (de Leibniz),

$\frac{dx}{dt}$

una notació abreviada molt comuna, especialment en física, és el punt superior, açò és,

$\dot{x}$

Açò es diu notació de Newton.

També s'usen derivades temporals de major orde: la derivada segona con respecto de el temps s'escriu com

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$

en la seua versió abreviada $\ddot{x}$.

Com a generalisació, la derivada temporal d'un vector donat,

$\overrightarrow{V}=[v_1,v_2,v_3,\cdots ],$

es definix com el vector les components del qual són les derivades de les components del vector original. Açò és,

$\frac{d\overrightarrow{V}}{dt}=[\frac{d{v}_1}{dt},\frac{d{v}_2}{dt},\frac{d{v}_3}{dt},\cdots ].$

Us en física

Les derivades temporals són un concepte clau en física. Per eixemple, per a una posició que varie en el temps $x$, la seua derivada temporal $\dot{x}$ és la seua velocitat, i la seua derivada segona sobre el temps, $\ddot{x}$, és el seu acceleració. En ocasions s'usen inclús derivades de major orde: la derivada tercera de la posició sobre el temps es coneix com sobreaceleración.

Un gran número d'equacions fonamentals en física involucren derivades temporals primeres o segones de cantitats. Moltes atres cantitats fonamentals en ciència són derivades temporals d'unes atres:

• la força és la derivada temporal del moment
• la potència és la derivada temporal de l'energia
• la corrent elèctrica és la derivada temporal de la càrrega elèctrica

entre unes atres.

També és comú en física la derivada temporal d'un vector, com la velocitat o el desplaçament. En tractar en una derivada d'este tipo, tant la magnitut com l'orientació poden dependre del temps.

Eixemple: moviment circular

Archiu:Polar rectangular.svg

Relació entre coordenades cartesianas (x,i) i coordenades polars (r,θ).

Per eixemple, siga una partícula movent-se en una trayectòria circular. La seua posició ve donada pel vector desplaçament $r=x\hat{ı}+y\hat{ȷ}$, relacionat en l'àngul, θ, i la distància radial, r, com es definix en la figura:

$\begin{array}{cc}x& =r\cos \theta \\ y& =r\sin \theta \end{array}$

Prengam per eixemple θ = t. El desplaçament (posició) en qualsevol temps t ve dau per

$𝐫(t)=r\cos (t)\hat{ı}+r\sin (t)\hat{ȷ}$

Esta forma mostra que el moviment descrit per r(t) està en una circumferència de ràdio r ya que la magnitut de r(t) ve donada per

$|𝐫(t)|=\sqrt{𝐫(t)\cdot 𝐫(t)}=\sqrt{x(t{)}^2+y(t{)}^2}=r\sqrt{{\cos }^2(t)+{\sin }^2(t)}=r$

usant l'identitat trigonométrica sense²(t) + cos²(t) = 1, i a on $\cdot$ és el producte escalar euclídeo usual.

En esta forma per al desplaçament es troba fàcilment la velocitat. La derivada temporal del vector desplaçament és el vector velocitat. En general, la derivada d'un vector és un vector format per les derivades temporals de cada component corresponent del vector original. Aixina, en este cas, el vector velocitat és:

$\begin{array}{cc}𝐯(t)=\frac{d𝐫(t)}{dt}& =r[\frac{d\cos (t)}{dt},\frac{d\sin (t)}{dt}]\\ & =r[-\sin (t),\cos (t)]\\ & =[-y(t),x(t)].\end{array}$

Per tant la velocitat de la partícula és no nula inclús encara que la magnitut de la posició (açò és, el radi de la trayectòria) és constant. La velocitat està dirigida perpendicularmente al desplaçament, com es pot comprovar usant el producte escalar:

$𝐯\cdot 𝐫=[-y,x]\cdot [x,y]=-yx+xy=0.$

L'acceleració és la derivada temporal de la velocitat:

$𝐚(t)=\frac{d𝐯(t)}{dt}=[-x(t),-y(t)]=-𝐫(t).$

L'acceleració està dirigida cap a l'interior, cap a l'eix de rotació. Apunta en sentit contrari al vector de posició i perpendicularment al vector velocitat. Esta acceleració dirigida a l'interior es diu acceleració centrípeta.

Vore també

• Càlcul diferencial
• Moviment circular
• Força centrípeta
• Taxa (matemàtiques)