Diagonalización

En matemàtiques i, en particular, en àlgebra llineal, la diagonalización és un procés que permet simplificar la descripció de certs endomorfismes d'un espai vectorial. En particular, identificant l'endomorfisme en la seua matriu associada en certa base, es pot parlar de diagonalización de matrius. Consistix en trobar una base de l'espai vectorial formada per vectores propis, si existix alguna. Açò es reflectix en obtindre una base tal que la matriu associada a l'endomorfisme en la mateixa és una matriu diagonal.

El procés es reduïx, puix, a una reducció màxima de l'endomorfisme, és dir, a una descomposició de l'espai vectorial en suma directa de subespacios vectorials invariantes per l'endomorfisme. Restringit sobre cada u d'ells, l'endomorfisme es reduïx a una homotecia. Per tant, la diagonalización permet una millor visualisació geomètric de l'actuació de l'endomorfisme sobre l'espai vectorial. Ademés, la diagonalización permet un càlcul ràpit i simple de potencies i exponencials de matrius (enteses com a matrius d'un endomorfisme), lo que permet expressar numèricament certs sistemes dinàmics llineals, obtinguts per iteración o per equacions diferencials.

Introducció i deducció del método

Supongam que tenim un endomorfisme $f:{ℝ}^3\to {ℝ}^3$ de l'espai vectorial ${ℝ}^3$ que en base canònica té per matriu associada la matriu $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 0& 4& 1\\ 0& 3& 2\end{array}\right)$.

Supongam que volem estudiar, per eixemple, l'endomorfisme $f^{10}$, que té per matriu associada $A^{10}$. Esta matriu és difícil de calcular. No obstant, si trobàrem una atra base ${ℬ}^{\prime }$ tal que la matriu de $f$ en eixa base fora una matriu diagonal $D=\left(\begin{array}{ccc}{d}_1& 0& 0\\ 0& d_2& 0\\ 0& 0& d_3\end{array}\right)$, en $P$ la matriu de canvi de base de ${ℬ}^{\prime }$ a la base canònica, és dir, $A=PD{P}^{-1}$, tindríem que $A^{10}=(PD{P}^{-1})(PD{P}^{-1})\stackrel{10\text{ veces}}{\dots }(PD{P}^{-1})(PD{P}^{-1})=PD(P^{-1}P)D(P^{-1}P)\dots (P^{-1}P)D{P}^{-1}=P{D}^{10}{P}^{-1}=P\left(\begin{array}{ccc}{d}_1^{10}& 0& 0\\ 0& d_2^{10}& 0\\ 0& 0& d_3^{10}\end{array}\right)P^{-1}$.

Aixina, el problema es voria reduït a calcular potències de número real, alguna cosa molt més senzill.

Vejam ara cóm podem construir la base ${ℬ}^{\prime }=\{u_1,u_2,u_3\}$ per a que la matriu de $f$ en eixa base siga diagonal. Per construcció de la matriu d'una aplicació llineal en una certa base, que la matriu de $f$ en base ${ℬ}^{\prime }$ siga $D$ significa que $\{\begin{array}{c}f(u_1)=d_1{u}_1\\ f(u_2)=d_2{u}_2\\ f(u_3)=d_3{u}_3\end{array}$. Prengam per eixemple la primera condició i denotem $ℬ$ la base canònica: $f(u_1)=d_1{u}_1\iff A(u_1{)}_{ℬ}=d_1(u_1{)}_{ℬ}\iff (A-d_{1}I)(u_1{)}_{ℬ}=0$. Com $u_1$ forma partix d'una base, no pot ser nul, de manera que açò vol dir que el sistema homogéneu $(A-d_{1}I)x=0$ té solucions no trivials (distintes de 0). Pel teorema de Rouché–Frobenius, açò vol dir que $\mathrm{rg}(A-d_{1}I)<3\iff \det (A-d_{1}I)=0$. Si considerem el polinomi $Q_f(t)=\det (A-tI)$ açò vol dir que $d_1$ té que ser raïl de $Q_f$. Simétricamente per a $u_2$ i $u_3$, obtenim que $d_2,d_3$ també són raïls de $Q_f$. És dir, $\{d_i\}$ és el conjunt de raïls del polinomi $Q_f$, al que cridarem polinomi característic de $f$. Per tant, si no hi ha cap raïl en el cos a on estem treballant, podem afirmar que l'endomorfisme no diagonaliza.

Per tant, el primer pas és trobar les raïls de $Q_f$ a les que cridarem valors propis (o VAPS) de $f$. Una volta trobades, trobem els vectores $u_i$ com a solucions no trivials dels sistemes $(A-d_{i}I)x=0$ que sabem que existixen perque hem impost que el ranc de la matriu $A-d_{i}I$ baixe per als $d_i$ trobats. Als vectores $u_i$ els cridarem vectores propis (o VEPS) de $f$. Una volta trobats, cal comprovar que formen entre ells una base. Si la formen, ya tenim la base ${ℬ}^{\prime }$ que buscàvem. Si no, direm que $f$ era un endomorfisme no diagonalisable. Este método és vàlit en general per a qualsevol dimensió. És dir, per a diagonalizar una matriu els passos a seguir són:

(1) Trobar els valors propis: les raïls de $Q_f(t)=\det (A-tI)$. Si no té, $f$ no diagonaliza.

(2) Trobar els vectores propis: per a cada valor propi $d_i$, les solucions de $(A-d_{i}I)x=0$. Prendre, d'entre els vectores propis de cada valor propi, tants linealment independents com siga possible.

(3) Comprovar que el conjunt de vectores obtinguts és, efectivament una base. Si ho és, ya estem. Si no, $f$ no és diagonalisable.

En l'eixemple anterior faríem lo següent:

$(1)Q_f(t)=\det (A-tI)=\left|\begin{array}{ccc}2-t& 1& 1\\ 0& 4-t& 1\\ 0& 3& 2-t\end{array}\right|=(2-t)\left|\begin{array}{cc}4-t& 1\\ 3& 2-t\end{array}\right|=$

$=(2-t)((4-t)(2-t)-3)=(2-t)(5-6t+t^2)=(2-t)(5-t)(1-t)$. Per lo que els valors propis són $1,2$ i $5$.

$(2)$Trobem els vectores propis:

$t=1$: $A-I=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 3& 1\\ 0& 3& 1\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 3& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\Rightarrow \ker (A-I)=\mathrm{span}(-2,1,3)\Rightarrow u_1=(-2,1,3)$

$t=2$: $A-2I=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& 2& 1\\ 0& 3& 0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\Rightarrow \ker (A-2I)=\mathrm{span}(1,0,0)\Rightarrow u_2=(1,0,0)$

$t=5$: $A-5I=\left(\begin{array}{ccc}-3& 1& 1\\ 0& -1& 1\\ 0& 3& -3\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}-3& 0& 2\\ 0& -1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\Rightarrow \ker (A-5I)=\mathrm{span}(2,3,3)\Rightarrow u_3=(2,3,3)$

$(3)$ El nostre candidat a base és ${ℬ}^{\prime }=\{(-2,1,3),(1,0,0),(2,3,3)\}$, que efectivament, és una base. Per tant,

$A=\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& 2\\ 1& 0& 3\\ 3& 0& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right){\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& 2\\ 1& 0& 3\\ 3& 0& 3\end{array}\right)}^{-1}$, i podem calcular $A^k=\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& 2\\ 1& 0& 3\\ 3& 0& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{1}^k& 0& 0\\ 0& 2^k& 0\\ 0& 0& 5^k\end{array}\right){\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& 2\\ 1& 0& 3\\ 3& 0& 3\end{array}\right)}^{-1}$.

No obstant, no tots els endomorfismes són diagonalisables, pero podem caracterisar aquells que sí que ho són.

Caracterisació d'endomorfismes diagonalisables

Definim la multiplicitat algebraica i geomètrica d'un valor propi $\lambda$. La multiplicitat algebraica $m_a(\lambda )$ és la seua multiplicitat com a raïl del polinomi característic. La multiplicitat geomètrica $m_g(\lambda )$ de $\lambda$ és la dimensió de l'espai de vectores propis de valor propi $\lambda$ (que denotarem $E_{\lambda }$). Aixina, $m_g(\lambda )=\dim (E_{\lambda })$.

Abans de la caracterisació, fa falta demostrar dos lemes:

Vejam ara la teorema que caracterisa els endomorfismes diagonalisables i nos permetrà assegurar que no podem diagonalizar $f$ abans d'acabar l'algoritme presentat en el primer apartat de l'artícul.

Per tant, en l'algoritme anterior podem afirmar que $f$ no és diagonalisable sense acabar en dos casos: si el polinomi característic no descompon o si en calcular els subespacios de vectores propis, trobem algun la dimensió dels quals no coincidixca en la multiplicitat algebraica de el VAP corresponent.

Ademés, si no hem parat en cap dels dos casos anteriors, la teorema afirma que $f$ és diagonalisable directament, és dir, no fa falta el tercer pas, a on comprovàvem que el conjunt de VEPs obtinguts eren efectivament una base. Aixina, podríem actualisar l'algoritme com seguix:

(1) Trobar els valors propis: les raïls de $Q_f(t)=\det (A-tI)$. Si no descompon completament, $f$ no diagonaliza. Fi.

(2) Trobar els vectores propis: per a cada valor propi $d_i$, $\ker (A-d_{i}I)$. Si la dimensió d'este núcleu no és igual a la multiplidad de el VAP corresponent com a raïl del polinomi característic, $f$ no diagonaliza. Fi.

(3) Aplegat a este punt, $f$ diagonaliza, i l'unió de les bases dels espais de VEPs és la base que busquem per a diagonalizar $f$.

Referències

• Plantilla:Ref-lliure

Bibliografia

(anglés) Richard S. Varga, Matrix Iterative Analysis, Springer, 2010