Divisió polinòmica

En matemàtica i concretament, en àlgebra, la divisió de polinomis o divisió polinòmica és un algoritme que permet dividir un polinomi entre un atre polinomi que no siga nul.

L'algoritme és una versió generalisada de la tècnica aritmètica de divisió llarga. És fàcilment realisable a mà, perque separa un problema de divisió complex, en uns atres més menuts.

Siguen els polinomis $f (x)$ i $g (x)$ , a on $g (x)$ no és el polinomi nul, llavors existix un únic parell de polinomis $q (x)$ i $r (x)$ tal que:

o la més coneguda

en el grau de $r (x)$ menor que el grau de $g (x)$ i el grau de $q (x)$ és la diferència entre el grau de f i de g (per a $gr (f) \geq gr (g)$ en el cas general $gr (q) = ⟨ gr (f) - gr (g) ⟩_{+}$ ). La divisió sintètica permet obtindre el cocient $q (x)$ i el restant $r (x)$ dau un divident $f (x)$ i un divisor $g (x)$ . ^{cita requerida}

Tots els térmens en exponents menors que el major deuen escriure's explícitament, inclús si els seus coeficients són zero.

Condicions de divisibilidad

Si A és un anell, la divisió polinòmica en A[X] no és sempre possible. Per eixemple, en Z[X], els polinomis en coeficients sancers, no és possible dividir.

Divisió entre un binomi

El cocient i el restant d'una divisió d'un polinomi en coeficiones sancers en x entre x+a es poden trobar usant la divisió llarga, o utilisant la regla de Ruffini. Té la propietat de que el cocient d'esta divisió serà un polinomi en x que el seu grau és una unitat menor que el grau del divident i el coeficient del qual del terme general del cocient és igual al coeficient del terme general del divident.

Eixemples

Trobar:

\frac{x^{3} - 12 x^{2} - 42}{x - 3}

S'escriu el problema de la següent forma (notar que tal com es va explicar prèviament, s'inclou explícitament el terme x, encara que el seu coeficient siga zero):

x - 3 \overline{| x^{3} - 12 x^{2} + 0 x - 42}

1. Dividir el primer terme del divident entre el terme de major grau del divisor. Posar el resultat dalt de la llínea horisontal (x³ ÷ x = x²).

\begin{matrix} x^{2} \\ x - 3 \overline{| x^{3} - 12 x^{2} + 0 x - 42} \end{matrix}

2. Multiplicar el divisor pel resultat obtingut en el pas previ (el primer terme de l'eventual cocient). Escriure el resultat baix dels primers dos térmens del divident (x² * (x-3) = x³ - 3x²).

\begin{matrix} x^{2} \\ x - 3 \overline{| x^{3} - 12 x^{2} + 0 x - 42} \\ x^{3} - 3 x^{2} \end{matrix}

3. Restar el producte obtingut en el pas previ dels térmens corresponents del divident original, i escriure el resultat davall. Anar en conte en realisar esta operació de colocar el signe que corresponga. ((x³-12x²) - (x³-3x²) = -12x² + 3x² = -9x²) Després, «desplaçar cap a avall» el pròxim terme del divident.

\begin{matrix} x^{2} \\ x - 3 \overline{| x^{3} - 12 x^{2} + 0 x - 42} \\ \underline{x^{3} - 3 x^{2}} \\ - 9 x^{2} + 0 x \end{matrix}

4. Repetir els tres passos previs, excepto que esta volta utilisar els dos térmens que s'acaben d'escriure en el divident.

\begin{matrix} x^{2} - 9 x \\ x - 3 \overline{| x^{3} - 12 x^{2} + 0 x - 42} \\ \underline{x^{3} - 3 x^{2}} \\ - 9 x^{2} + 0 x \\ \underline{- 9 x^{2} + 27 x} \\ - 27 x - 42 \end{matrix}

5. Repetir el pas 4. Esta volta, no hi ha res per a «desplaçar cap a avall».

\begin{matrix} x^{2} - 9 x - 27 \\ x - 3 \overline{| x^{3} - 12 x^{2} + 0 x - 42} \\ \underline{x^{3} - 3 x^{2}} \\ - 9 x^{2} + 0 x \\ \underline{- 9 x^{2} + 27 x} \\ - 27 x - 42 \\ \underline{- 27 x + 81} \\ - 123 \end{matrix}

El polinomi dalt de la llínea horisontal és el cocient, i el número que queda (-123) és el restant.

\frac{x^{3} - 12 x^{2} - 42}{x - 3} = (x^{2} - 9 x - 27) - \frac{123}{x - 3}

Este método és una reminiscència dels métodos de divisió utilisats en classes elementals d'aritmètica.

En alguns casos és important considerar que X és chicotet front a 1 i fer les divisions al revés, escomençant per les constants (que són els térmens majors) i terminant pels Xⁿ, en n gran. Formalment, es modifica la definició del grau: d^o (Xⁿ) = - n. La diferència és que ya no hi ha unicitat, i és necessari fixar-se per antelació una precisió, és dir un grau màxim al restant.

Per eixemple, dividim $1$ entre $1 - X$ a l'orde 3: el restant deure haver com a terme més fort (ací el monomi de menor exponent) a lo millor X⁴. L'igualtat obtinguda (en blava) equival a:

\frac{1 - X^{4}}{1 - X} = 1 + X + X^{2} + X^{3}

la que, ademés de ser certa, és un cas especial de la suma de térmens d'una successió geomètrica:

1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}

i cada valor de n correspon a una divisió euclidiana en una precisió distinta.

Un atre punt de vista és considerar a $1 + X + X^{2} + \dots + X^{n}$ com l'inici del desenroll de $\frac{1}{1 - X}$ en série de Taylor.

Més generalment, la série de Taylor d'una funció racional s'obté per mig de la divisió euclidiana de la série de Taylor del numerador per la del denominador.

Per eixemple, considere's la funció trigonométrica tangente: $\tan = \frac{\sin}{\cos}$ , i busquem el seu desenroll al voltant de 0 a l'orde 5. Cal conéixer les séries a l'orde 5 (per lo manco) del sen i del coseno, i dividir-les descartant sistemàticament els térmens d'orde major que apareixen en el càlcul. Com la funció tangente és parell, solament hi ha tres monomis (en X, X³ i X⁵) que buscar.

El resultat és $\tan x = x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 x^{5}}{15} + O (x^{7})$

La divisió euclidiana també existix en els anells de polinomis de múltiples variables K[X,I,Z, …], a on hi ha vàries maneres de definir el grau (parcial, total…) i sengles de procedir a la divisió.

Vore també

Este artícul conté una traducció derivada de «División polinómica» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.