Equació de Hunter-Saxton

En física matemàtica , la equació de Hunter-Saxton

$(u_t+u{u}_x{)}_x=\frac{1}{2}{u}_x^2$

és una equació en derivades parcials integrable que sorgix en l'estudi teòric de cristals líquits nemáticos. Si les molècules en el cristal líquit estan inicialment alineades i algunes d'elles es mouen llaugerament, esta alteració en l'orientació es propagarà a través del cristal. L'equació de Hunter-Saxton descriu certs aspectes de tals ones d'orientació.

Antecedents físics

En els models de cristals líquits considerats ací, se supon que no hi ha fluix de decorregut, per lo que només la orientació de les molècules és d'interés. Dins de la teoria de l'elàstic continu, l'orientació es descriu per mig d'un camp de vectores unitaris n(x,i,z,t). Per als cristals líquits nemáticos, no hi ha diferència entre orientar una molècula en n direccionar o en −n direccionar i el camp vectorial n és llavors cridat camp director.

La densitat d'energia potencial d'un camp director se supon que ve donada per l'energia funcional d'Oseen–Frank

$W(𝐧,\mathrm{\nabla }𝐧)=\frac{1}{2}(\alpha (\mathrm{\nabla }\cdot 𝐧{)}^2+\beta (𝐧\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐧){)}^2+\gamma |𝐧\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐧){|}^2),$

a on els coeficients positius $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ són coneguts com els coeficients elàstics de separació, torsió i flexión, respectivament. L'energia cinètica es descuida a sovint per l'alta viscosidad dels cristals líquits.

Derivació de l'equació de Hunter-Saxton

Hunter i Saxton varen investigar el cas en el que s'ignora la amortiguación viscosa i s'inclou un terme d'energia cinètica en el model. Llavors les equacions rectores per a la dinàmica del camp director són les equacions de Euler-Lagrange per al lagrangiano

$ℒ=\frac{1}{2}{\left|\frac{\partial 𝐧}{\partial t}\right|}^2-W(𝐧,\mathrm{\nabla }𝐧)-\frac{\lambda }{2}(1-|𝐧{|}^2),$

a on $\lambda$ és un dels multiplicadors de Lagrange corresponent a la restricció |n|=1. Varen llimitar la seua atenció a les «ones de separació», a on el camp del director pren la forma especial següent:

$𝐧(x,y,z,t)=(\cos \phi (x,t),\sin \phi (x,t),0).$

Esta suposició reduïx el lagrangiano a:

$ℒ=\frac{1}{2}({\phi }_t^2-a^2(\phi ){\phi }_x^2),a(\phi ):=\sqrt{\alpha {\sin }^2\phi +\gamma {\cos }^2\phi },$

i llavors l'equació de Euler-Lagrange per a l'àngul φ es convertix en:

${\phi }_{tt}=a(\phi )[a(\phi ){\phi }_x{]}_x.$

Hi ha solucions constants trivials φ=φ₀ corresponents als estats a on les molècules en el cristal líquit estan perfectament alineats. La linealización al voltant de tal equilibri conduïx a l'equació d'ona llineal que permet la propagació de les ones en abdós direccions en velocitat

$a_0:=a({\phi }_0)$,

per lo que es pot esperar que l'equació no llineal es comporte de manera similar. En la finalitat d'estudiar les ones de moviment correcte per a les grans t, es busquen solucions asintòtiques de la forma

$\phi (x,t;ϵ)={\phi }_0+ϵ{\phi }_1(\theta ,\tau )+O({ϵ}^2),$

a on

$\theta :=x-a_{0}t,\tau :=ϵt.$

Insertant açò en l'equació, es troba en l'orde ${ϵ}^2$

$({\phi }_{1\tau }+a^{\prime }({\phi }_0){\phi }_1{\phi }_{1\theta }{)}_{\theta }=\frac{1}{2}{a}^{\prime }({\phi }_0){\phi }_{1\theta }^2.$

Generalisació

L'anàlisis va ser posteriorment generalisat per Alì i Hunter,

$𝐧(x,y,z,t)=(\cos \phi (x,t),\sin \phi (x,t)\cos \psi (x,t),\sin \phi (x,t)\sin \psi (x,t)).$

Llavors, el lagrangiano és:

$ℒ=\frac{1}{2}({\phi }_t^2-a^2(\phi ){\phi }_x^2+{\sin }^2\phi [{\psi }_t^2-b^2(\phi ){\psi }_x^2]),a(\phi ):=\sqrt{\alpha {\sin }^2\phi +\gamma {\cos }^2\phi },b(\phi ):=\sqrt{\beta {\sin }^2\phi +\gamma {\cos }^2\phi }.$

Les equacions corresponents de Euler-Lagrange són equacions d'ones no llineals acoplades per als ànguls φ i ψ, corresponent φ a ones separades i ψ a ones giratòries. El cas anterior de Hunter-Saxton (ones separades pures) es recupera prenent la constant ψ, pero també es poden considerar ones separades i giratòries acoplades en les que varien tant φ com ψ. Les expansions asintòtiques similars a l'anterior conduïxen a un sistema d'equacions que, despuix de renombrar i reescalar les variables, adopta la forma

$(v_t+u{v}_x{)}_x=0,u_{xx}=v_x^2,$

a on «o» es relaciona en φ i «v» en ψ. Este sistema implica, diferenciant la segona equació sobre t, substituint v_xt' de la primera equació, i eliminant v usant la segona equació, que «o» satisfà la següent equació:

${[(u_t+u{u}_x{)}_x-\frac{1}{2}{u}_x^2]}_x=0,$

aixina que (de manera prou notable) l'equació de Hunter-Saxton sorgix en este context també, pero d'una manera diferent.