Equació de Nernst-Planck

La equació de Nernst-Planck és una equació de conservació de la massa utilisada per a descriure el moviment d'una espècie química carregada en un mig decorregut. És una extensió de la llei de difusió de Fick per al cas en que una força electrostàtica impartixca un moviment a les partícules en difusió. El nom de l'equació prové de Walther Nernst i Max Planck .

Equació

L'equació de Nernst-Planck és una equació de continuïtat per a la concentració depenent del temps $c(t,𝐱)$ d'una espècie química:

$\frac{\partial c}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐉=0$

a on $𝐉$ és el fluix. Se supon que el fluix total depén de tres elements: difusió, advección i electromigración. Açò implica que la concentració varia en funció del gradient de concentració iònica $\mathrm{\nabla }c$, la velocitat de fluix $𝐯$, i el camp elèctric $𝐄$ :

$𝐉=-\underset{\text{Diffusion}}{\underbrace{D\mathrm{\nabla }c}}+\underset{\text{Advection}}{\underbrace{c𝐯}}+\underset{\text{Electromigration}}{\underbrace{\frac{Dze}{k_{\text{B}}T}c𝐄}}$

a on $D$ denota la difusividad de l'espècie química, $z$ és la valència de les espècies iòniques, $e$ representa la càrrega elemental, $k_{\text{B}}$ és la constant de Boltzmann, i $T$ és la temperatura absoluta. El camp elèctric es pot descompondre a la seua volta com:

$𝐄=-\mathrm{\nabla }\varphi -\frac{\partial 𝐀}{\partial t}$

on $\varphi$ representa al potencial elèctric i $𝐀$ al vector potencial magnètic. Per lo tant, l'equació de Nernst-Planck ve donada per:Plantilla:Caixa d'equació

Simplificació

En el cas de que la concentració estiga en equilibri $(\partial c/\partial t=0)$ i la velocitat del fluix siga zero, és dir, que solament es moguen els ions, l'equació de Nernst-Planck pren la forma:

$\mathrm{\nabla }\cdot \left\{D[\mathrm{\nabla }c+\frac{ze}{k_{\text{B}}T}c(\mathrm{\nabla }\varphi +\frac{\partial 𝐀}{\partial t})]\right\}=0$

Si se supon que solament la component electrostàtica del camp elèctric és significativa, l'equació se simplifica encara més en eliminar-se la derivada temporal del vector potencial magnètic:

$\mathrm{\nabla }\cdot \left[D(\mathrm{\nabla }c+\frac{ze}{k_{\text{B}}T}c\mathrm{\nabla }\varphi )\right]=0$

La forma més comuna s'expressa en unitats de mol/(m ² ·s) i en funció de la constant dels gasos $R$:

$\mathrm{\nabla }\cdot \left[D(\mathrm{\nabla }c+\frac{zF}{RT}c\mathrm{\nabla }\varphi )\right]=0$

a on $F$ és la constant de Faraday, igual al producte de la constant de Avogadro $N_{\text{A}}$ i la càrrega elemental. $e$

Aplicacions

L'equació de Nernst-Planck s'usa per a descriure la cinètica d'intercanvi iònic en els sols. També s'ha utilisat en l'electroquímica de membranes .