Fòrmula de la difracció de Kirchhoff

La fòrmula de la difracció de Kirchhoff^[1]^[2] (també coneguda com a fòrmula de la difracció de Fresnel-Kirchhoff) es pot usar per a modelizar el fenomen de la propagació de la llum en una àmplia gama de configuracions, ya siga analíticamente o usant models numèrics. Proporciona una expressió per al destorbament d'una ona quan una ona esfèrica monocroma passa a través d'una obertura en una pantalla opaca. L'equació es deduïx per mig de vàries aproximacions al teorema integral de Kirchhoff que es val del teorema de Green per a calcular la solució de l'equació d'ona homogénea.

Deducció de la fòrmula de difracció de Kirchhoff

El teorema integral de Kirchhoff, a voltes denominat teorema integral de Fresnel-Kirchhoff, utilisa les identitats de Green per a deduir la solució de l'equació d'ona homogénea en un punt arbitrari P en térmens dels valors de la solució de l'equació d'ona i la seua derivada de primer orde en tots els punts d'una superfície arbitrària que rodeja per complet al punt P.

La solució proporcionada per la teorema integral per a una font monocroma és:

$U (P) = \frac{1}{4 π} \int_{S} [U \frac{\partial}{\partial n} (\frac{e^{i k s}}{s}) - \frac{e^{i k s}}{s} \frac{\partial U}{\partial n}] d S$
Símbol	Nom
$U$	Fasor del destorbament en la superfície
$k$	Número
$s$	Distància des de P a la superfície

Les suposicions fetes són:

O i ∂O/∂n són discontinus en els llímits de l'obertura,
La distància a la font puntual i la dimensió de l'obertura S són molt majors que λ.

Font puntual

Considere's una font puntual monocromàtica en P₀, que allumena una obertura en una pantalla. L'energia de l'ona emesa per una font puntual decau en funció de l'invers del quadrat de la distància recorreguda, per lo que l'amplitut disminuïx com l'invers de la distància. L'amplitut complexa del destorbament a una distancia r ve donada per

$U (r) = \frac{a e^{i k r}}{r}$
Símbol	Nom
$a$	Magnitut del destorbament en la font puntual

El destorbament en un punt P es pot determinar aplicant la teorema integral a la superfície tancada formada per l'intersecció d'una esfera de ràdio R en la pantalla. L'integració es realisa en les àrees A₁, A₂ i A₃, resultant

$U (P) = \frac{1}{4 π} [\int_{A_{1}} + \int_{A_{2}} + \int_{A_{3}} (U \frac{\partial}{\partial n} (\frac{e^{i k s}}{s}) - \frac{e^{i k s}}{s} \frac{\partial U}{\partial n})] d S .$

Per a resoldre l'equació, se supon que els valors de O i ∂O/∂n en l'àrea A₁ són els mateixos que quan la pantalla no està present, donant en Q:

$U_{A_{1}} = \frac{a e^{i k r}}{r},$ $\frac{\partial U_{A_{1}}}{\partial n} = \frac{a e^{i k r}}{r} [i k - \frac{1}{r}] \cos (n, r)$


Símbol	Nom
$r$	Llongitut P₀Q
$(n, r)$	Àngul entre P₀Q i la normal a l'obertura

Kirchhoff supon que els valors de O i ∂O/∂n en A₂ són zero. Açò implica que O i ∂O/∂n són discontinus en la vora de l'obertura. Este no és el cas, i esta és una de les aproximacions usades per a deducirar l'equació. Estes suposicions a voltes es coneixen com les condicions de contorn de Kirchhoff.

La contribució de A₃ a l'integral també se supon que és zero. Açò pot justificar-se suponent que la font comença a irradiar en un moment determinat i després fent que "R" siga lo suficientment gran, de modo que quan es considere el destorbament en P, l'aportació de A₃ ya haurà aplegat allí.^[1] Tal ona ya no és monocroma, i encara que es presupon que una ona monocromàtica deu existir en tot moment, esta condició no és estrictament necessària, i s'ha deduït un argument més formal per a evitar el seu us.^[3]

Es té que

$\frac{\partial}{\partial n} (\frac{e^{i k s}}{s}) = \frac{e^{i k s}}{s} [i k - \frac{1}{s}] \cos (n, s)$
Símbol	Nom
$(n, s)$	Àngul entre la normal a l'obertura i PQ

Finalment, els térmens 1/r i 1/s es consideren insignificants en comparació a k, ya que r i s són generalment molt més grans que 2π/k, que és igual al llongitut d'ona. Per lo tant, l'integral anterior, que representa l'amplitut complexa en P, es convertix en

U (P) = - \frac{i a}{2 λ} \int_{S} \frac{e^{i k (r + s)}}{r s} [\cos (n, r) - \cos (n, s)] d S .

Esta és la fòrmula de la difracció de Kirchhoff o de Fresnel i Kirchhoff.

Equivalència en l'equació de Huygens-Fresnel

El Principi de Fresnel - Huygens pot deduir-se integrant sobre una superfície tancada diferent. L'àrea A₁ anterior es reemplaça per un front d'ona des de P₀, que casi plena l'obertura, i una porció d'un con en un vèrtiç en P₀, que està etiquetada com A₄ en el diagrama. Si el ràdio de curvatura de l'ona és lo suficientment gran, pot despreciar-se la contribució de A₄. També es té que

χ = π - (r_{0}, s),

a on χ s'ajusta a la seua definició segons el Principi de Fresnel - Huygens, i cos (n, r) = 1. L'amplitut complexa del front d'ona en r₀ ve donada per

$U (r_{0}) = \frac{a e^{i k r_{0}}}{r_{0}} .$

La fòrmula de difracció es convertix en

$U (P) = - \frac{i}{2 λ} \frac{a e^{i k r_{0}}}{r_{0}} \int_{S} \frac{e^{i k s}}{s} (1 + \cos χ) d S .$

Esta és la fòrmula de difracció de Kirchhoff, que conté paràmetros que deuen assignar-se arbitrariamente en la deducció de l'equació d'Huygens–Fresnel.

Font extensa

Suponga's que l'obertura està allumenada per una font d'ones extensa.^[4] L'amplitut en l'obertura segons la seua expressió complexa ve donada per O₀(r).

Se supon, com abans, que els valors de O i ∂O/∂n en l'àrea A₁ són els mateixos que quan la pantalla no està present, que els valors de O i ∂O/∂n en A₂ són zero (condicions de contorn de Kirchhoff) i que la contribució de A₃ a l'integral també és zero. Aixina mateix, se supon que 1/s és insignificant en comparació a k. Llavors es té que

$U (P) = - \frac{1}{4 π} \int_{A_{1}} \frac{e^{i k s}}{s} [i k U_{0} (r) \cos (n, s) - \frac{\partial U_{0} (r)}{\partial n}] d S .$

Esta és la forma més general de la fòrmula de difracció de Kirchhoff. Per a resoldre esta equació en una font estesa, es requeriria una integració adicional per a sumar les contribucions fetes pels punts individuals en la font. No obstant, si se supon que la llum de la font en cada punt de l'obertura té una direcció ben definida, que és el cas si la distància entre la font i l'obertura és significativament major que la llongitut d'ona, llavors es pot escriure

$U_{0} (r) \approx a (r) e^{i k r},$

a on a(r) és la magnitut del destorbament en el punt r en l'obertura. Llavors es té

$\frac{\partial U_{0} (r)}{\partial n} = i k a (r) \cos (n, r)$

i per lo tant

$U (P) = - \frac{i}{2 λ} \int_{S} a (r) \frac{e^{i k s}}{s} [\cos (n, s) - \cos (n, r)] d S .$

Equacions de la difracció de Fraunhofer i Fresnel

A pesar de les diverses aproximacions que es varen fer per a aplegar a la fòrmula, és adequada per a descriure la majoria dels problemes de l'òptica instrumental. Açò es deu principalment a que la llongitut d'ona de la llum és molt més chicoteta que les dimensions de qualsevol obstàcul trobat. Les solucions analítiques no són possibles per a la majoria de les configuracions, pero l'equació de la difracció de Fresnel i l'equació de la difracció de Fraunhofer, que són aproximacions de la fòrmula de Kirchhoff per a camps pròxims i camps lluntans, es poden aplicar a una àmplia gama de sistemes òptics.

Una de les suposicions importants fetes per a aplegar a la fòrmula de la difracció de Kirchhoff és que r i s són significativament majors que λ. Es pot fer una aproximació més, lo que simplifica encara més l'equació: les distancies P₀Q i QP són molt majors que les dimensions de l'obertura. Açò permet fer dos aproximacions adicionals:

cos (n, r) - cos (n, s) es reemplaça per 2cos β, a on β és l'àngul entre P₀P i la normal a l'obertura. El factor 1/rs es reemplaça per 1/r's', a on r' i s' són les distàncies des de P₀ i P a l'orige, que es troba en l'obertura. L'amplitut complexa es convertix en:

U (P) = - \frac{i a \cos β}{λ r^{'} s^{'}} \int_{S} e^{i k (r + s)} d s .

Suponent que l'obertura es troba en el pla xy, i les coordenades de P₀, P i Q (un punt general en l'obertura ) són (x₀, i₀, z₀), (x, i, z) i (x', i', 0) respectivament. Llavors es té que:

r^{2} = (x_{0} - x^{'})^{2} + (y_{0} - y^{'})^{2} + z_{0}^{2},

s^{2} = (x - x^{'})^{2} + (y - y^{'})^{2} + z^{2},

r'^{2} = x_{0}^{2} + y_{0}^{2} + z_{0}^{2},

s'^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} .

Es poden expressar r i s de la següent manera:

r = r^{'} {[1 - \frac{2 (x_{0} x^{'} + y_{0} y^{'})}{r'^{2}} + \frac{x'^{2} + y'^{2}}{r'^{2}}]}^{1 / 2},

s = s^{'} {[1 - \frac{2 (x x^{'} + y y^{'})}{s'^{2}} + \frac{x'^{2} + y'^{2}}{s'^{2}}]}^{1 / 2} .

que poden expandir-se com series de potències:

r = r^{'} [1 - \frac{1}{2 r'^{2}} [2 (x_{0} x^{'} + y_{0} y^{'}) + (x'^{2} + y'^{2})] + \frac{1}{2 r'^{2}} [2 (x_{0} x^{'} + y_{0} y^{'}) + (x'^{2} + y'^{2})]^{2} + \dots],

s = s^{'} [1 - \frac{1}{2 s'^{2}} [2 (x x^{'} + y y^{'}) + (x'^{2} + y'^{2})] + \frac{1}{2 s'^{2}} [2 (x x^{'} + y y^{'}) + (x'^{2} + y'^{2})]^{2} + \dots] .

L'amplitut complexa en P ara es pot expressar com

U (P) = - \frac{i \cos β}{λ} \frac{a e^{i k (r^{'} + s^{'})}}{r^{'} s^{'}} \int_{S} e^{i k f (x^{'}, y^{'})} d x^{'} d y^{'},

a on f( x', i') inclou tots els térmens en les expressions anteriors per a s i r a banda del primer terme en cada expressió i pot escriure's en la forma

f (x^{'}, y^{'}) = c_{1} x^{'} + c_{2} y^{'} + c_{3} x'^{2} + c_{4} y'^{2} + c_{5} x^{'} y^{'} \dots,

a on els térmens c_i són constants.

Difracció de Fraunhofer

Artícul principal → Difracció de Fraunhofer.

Si es poden despreciar tots els térmens en f(x', i') a excepció dels térmens en x' i i', es té l'equació de la difracció de Fraunhofer. Si els cosenos de direcció de P₀Q i PQ són

\begin{matrix} l_{0} & = - x_{0} / r^{'}, \\ m_{0} & = - y_{0} / r^{'}, \\ l & = x / s^{'}, \\ m & = y / s^{'} . \end{matrix}

L'equació de la difracció de Fraunhofer és llavors

U (P) = C \int_{S} e^{i k [(l_{0} - l) x^{'} + (m - m_{0}) y^{'}]} d x^{'} d y^{'},

a on C és una constant. Açò també es pot escriure en la forma

U (P) = C \int_{S} e^{i (𝐤_{0} - 𝐤) \cdot 𝐫^{'}} d r^{'},

a on k ₀ i k són els vectores d'ona de les ones que viagen de P₀ a l'obertura i de l'obertura a P respectivament, i r' és un punt en l'obertura.

Si la font puntual és reemplaçada per una font extensa l'amplitut complexa de la qual en l'obertura ve donada per O₀(r'), llavors l'equació de la difracció de Fraunhofer és:

U (P) \propto \int_{S} a_{0} (𝐫^{'}) e^{i (𝐤_{0} - 𝐤) \cdot 𝐫^{'}} d r^{'},

a on a₀(r') és, com abans, la magnitut del destorbament en l'obertura.

Ademés de les aproximacions realisades en la deducció de l'equació de Kirchhoff, se supon que

r i s són significativament majors que el tamany de l'obertura,
Els térmens de segon orde i d'orde superior en l'expressió f (x', i') poden despreciar-se.

Difracció de Fresnel

Artícul principal → Difracció de Fresnel.

Quan els térmens quadràtics no es poden despreciar, pero sí tots els térmens d'orde superior, l'equació es convertix en l'equació de la difracció de Fresnel. S'usen les aproximacions per a l'equació de Kirchhoff, i les suposicions adicionals són:

r i s són significativament majors que el tamany de l'obertura,
Els térmens de tercer i major orde en l'expressió f ( x', i') poden ser ignorats.

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada Born and Wolf
↑ Longhurst, Richard Samuel. Geometrical And Physical Optics, Orient BlackSwan, pp. 651. ISBN 8125016236.
↑ M. Born, Optik: ein Lehrbuch der elektromagnetischen Lichttheorie. Berlin, Springer, 1933, reprinted 1965, p. 149.
↑ M. V. Klein & T. E. Furtak, 1986, Optics; 2nd ed. John Wiley & Sons, New York ISBN 0-471-87297-0.

Este artícul conté una traducció derivada de «Fórmula de la difracción de Kirchhoff» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[Born_and_Wolf-1] 1,0 ^1,1 Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada Born and Wolf

[2] Longhurst, Richard Samuel. Geometrical And Physical Optics, Orient BlackSwan, pp. 651. ISBN 8125016236.

[3] M. Born, Optik: ein Lehrbuch der elektromagnetischen Lichttheorie. Berlin, Springer, 1933, reprinted 1965, p. 149.

[4] M. V. Klein & T. E. Furtak, 1986, Optics; 2nd ed. John Wiley & Sons, New York ISBN 0-471-87297-0.

[1]

[2]

[3]

[4]