Factor d'estructura

En la física de la matèria condensada i la cristalografia, es coneix com a factor d'estructura o factor d'estructura estàtic a la funció que descriu la dispersió d'un fes incident de radiació per la matèria. El factor d'estructura és un concepte que facilita l'interpretació dels patrons d'interferència obtinguts en experiments de difracció de rajos X, d'electrons i de neutrons. Quan és necessari examinar l'evolució temporal del sistema estudiat, s'utilisa el factor d'estructura dinàmic.

Definició matemàtica

Siga $\varphi (𝐫)$ una funció escalar definida en un volum $V$ que represente la distribució espacial d'una propietat física. Si la funció $\varphi (𝐫)$ és integrable, es pot definir el factor d'estructura com la transformada de Fourier:

$F(𝐪)=\underset{V}{\int }\varphi (𝐫){\mathrm{e}}^{-i𝐪𝐫}\mathrm{d}𝐫$

L'expressió de $\varphi$ en l'espai recíproc és molt útil per a l'interpretació dels experiments de dispersió i difracció d'una ona electromagnètica. Es pot demostrar que en l'aproximació de Born, aplicable quan el camp dispersat és molt més dèbil que el camp incident, l'amplitut de l'ona associada dispersada és proporcional a $F(𝐪)$, a on $𝐪$ és el vector de transferència, igual a la diferència entre els vectores d'ona del camp incident i dispersat. A sovint, solament es pot medir l'intensitat de l'ona dispersada $I(𝐪)$, relacionada en $F(𝐪)$ per l'expressió $I(𝐪)\sim {|F(𝐪)|}^2$.

Quan el sistema a estudiar està compost d'un número $N$ d'àtoms és convenient expressar $\varphi$ en funció de la morfologia o «forma» de les partícules individuals, descrita per mig de la funció $f(𝐫)$:

$\varphi (𝐫)=\sum _{j=1}^{N}f(𝐫-{𝐑}_j)=f(𝐫)\ast \sum _{j=1}^N\delta (𝐫-{𝐑}_j)$

a on ${𝐑}_j,j=1,\dots ,N$ denota la posició de cada partícula. D'esta forma s'obté una expressió de l'intensitat de l'ona dispersada com la convolución de la funció $f$, que descriu les característiques de les partícules en la suma de la funció delta de Dirac, que descriu la seua posició. Ya que la transformada Fourier d'una convolución és igual al producte de les transformades dels dos factors, s'obté:

$F(𝐪)=f(𝐪)\sum _{j=1}^N{\mathrm{e}}^{-i𝐪{𝐑}_j}$

lo que resulta en:

$I(𝐪)\sim {|F(𝐪)|}^2={|f(𝐪)|}^2\times \left(\sum _{j=1}^N{\mathrm{e}}^{-i𝐪{𝐑}_j}\right)\times \left(\sum _{k=1}^N{\mathrm{e}}^{i𝐪{𝐑}_k}\right)={|f(𝐪)|}^2\sum _{jk}{\mathrm{e}}^{-i𝐪({𝐑}_j-{𝐑}_k)}$

En vàries aplicacions es definix el factor d'estructura geomètric com el factor que depén exclusivament de la posició relativa de les partícules $S(𝐐)$ com

$S(𝐐)=\frac{1}{N}{\mathrm{e}}^{-i𝐪({𝐑}_j-{𝐑}_k)}$

En est, cas, l'intensitat dispersada s'expressa com:

$I(𝐪)=N{|f(𝐪)|}^{2}S(𝐪)$

Si es coneix el valor del factor d'estructura, es pot obtindre informació sobre la distribució espacial de les components del sistema per mig de la transformada de Fourier inversa.

Factor d'estructura cristalí

En un cristal, les partícules constituents estan dispostes periòdicament en les tres direccions espacials, formant una ret. Per a descriure la difracció per un cristal, es considera que totes les partícules de la ret tenen un entorn idèntic, és dir, formen una ret de Bravais; Si ${𝐑}_j$ són les posicions de les partícules sobre un punt qualsevol de la ret i ${𝐑}_n$ és un vector de la ret, el factor d'estructura es denota com:

$F(𝐪)=\sum _{j=1}^{M}f(𝐪{)}_j{\mathrm{e}}^{-i𝐪{𝐑}_j}\sum _{n=1}^N{\mathrm{e}}^{-i𝐪{𝐑}_n}$

El primer factor correspon al factor d'estructura dels $M$ àtoms en la cela unitat del cristal, i el segon, a la suma sobre tots els punts $N$ de la ret. El vector ${𝐑}_n$ es pot expressar com una combinació llineal dels vectores dels vectores base de la ret:

${𝐑}_n=n_1𝐚+n_2𝐛+n_3𝐜$

Similarment, $𝐪$ es pot expressar com una combinació llineal de vectores de la ret recíproca calculada com la transformada de Fourier de la ret cristalina:

$𝐪=h{𝐚}^{\ast }+k{𝐛}^{\ast }+l{𝐜}^{\ast }$

ya que el producte de dos vectores d'una ret i la seua corresponent ret recíproca és ${𝐑}_n𝐪=2\pi (n_{1}h+n_{2}k+n_{3}l)=2\pi n$, a on $n$ és un número entero, es deduïx que s'observarà difracció cristalina si el vector de transferència de moment $𝐪$ és un vector de la ret recíproca, lo que es coneix com a «condició de Laue».

Ret unidimensional

Erro al crear miniatura:

Factor d'estructura d'una estructura periòdica llineal per a diferents número de partícules $N$.

En el cas especial de que les partícules o molècules dispostes en una llínea en un periodo de el $a$ les posicions del qual vénen donades per $R_n=a(j-(N-1)/2)$ (per a simplificar, considerem que $N$ és impar), la suma dels factors de fase és una série geomètrica i el factor de l'estructura es convertix en:

$F(q)={\left|\frac{1-{\mathrm{e}}^{-iNqa}}{1-{\mathrm{e}}^{-iqa}}\right|}^2={\left[\frac{\sin (Nqa/2)}{\sin (qa/2)}\right]}^2$

D'esta expressió per a $F(q)$ , s'obtenen les següents conclusions: La ret recíproca té una separació entre els seus punts igual a $2\pi /a$ l'intensitat dels màxims aumenta en el número de partícules, fins a aplegar a $N$ lo que es pot demostrar per mig del càlcul del llímit $F(q\to 0)$ utilisant, per eixemple, la regla de l'Hôpital; l'intensitat en els punts mijos és $1/N$, per evaluació directa i l'esgambi del pico també disminuïx com $1/N$ . Quan $N$ tendix a infinit, els picos es convertixen en funcions delta de Dirac.

Casos especials de rets tridimensionals

La simetria de la ret i del cristal resulta en relacions entre els factors d'estructura per a diferents valors de $𝐪$ que són útils per a l'anàlisis de patrons de difracció cristalina; en el cas particular de cristals pertanyents al sistema cúbic, caracterisat per vectores base de la mateixa llongitut, $a$ formant ànguls de 90°, es poden definir vàries rets de Bravais i elements de simetria, com els següents:

Estructura cúbica centrada en el cos (bcc)

Per convenció, una ret de tipo bcc conté dos punts, un en l'orige ${𝐫}_0=(0,0,0)$ i un atre en ${𝐫}_1=(1/2,1/2,1/2)$, és dir, en coordenades $(a/2)({𝐮}_1+{𝐮}_2+{𝐮}_3)$, a on $(u_1$, $u_2$ i $u_3)$ són vectores unitaris. La ret recíproca és cúbica, en vectores base de magnitut $2\pi /a$ i els punts de la ret recíproca es poden expressar com $𝐪=2\pi a(h{𝐮}_1^{\ast }+k{𝐮}_2^{\ast }+l{𝐮}_3^{\ast })$

$F(𝐪)=f(𝐪)({\mathrm{e}}^0+{\mathrm{e}}^{-i2\pi (ha/2+ka/2+la/2)}=f(𝐪)(1+e^{-i\pi (h+k+l)})$

ya que $e^{-i\pi (h+k+l)}=-1$ si $h+k+l$ és un número impar, el factor d'estructura serà nul —és dir, no s'observarà difracció— per als vectores $𝐪=(h,k,l)$ que complixquen eixa condició; en canvi, $e^{-i\pi (h+k+l)}=1$ quan $h+k+l$ siga 0 o un número par i en este cas el factor d'estructura serà $2f(𝐪)$.

Estructura cúbica centrada en les cares (fcc)

Les rets fcc conten en quatre punts, en índexs ${𝐫}_0=(0,0,0)$, ${𝐫}_1=(1/2,1/2,0)$, ${𝐫}_2=(1/2,0,1/2)$ i ${𝐫}_3=(0,1/2,1/2)$. En este cas el factor d'estructura és

$F(𝐪)=f(𝐪)(1+{\mathrm{(}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{)}}^{h+k}+{\mathrm{(}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{)}}^{k+l}+{\mathrm{(}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{)}}^{h+l})$

Esta expressió és igual a $4f(𝐪)$ sempre que els índexs $h$, $k$ i $l$ siguen tots parells o tots impar, i 0 en cas contrari.

Ret de diamant

Artícul principal → Estructura cristalina cúbica del diamant.

Esta ret, aixina cridada per ser característica dels diamants, de la mateixa manera que del silici i uns atres semiconductors té huit punts, en índexs

• ${𝐫}_0=(0,0,0)$
• ${𝐫}_1=(1/2,1/2,0)$
• ${𝐫}_2=(1/2,0,1/2)$
• ${𝐫}_3=(0,1/2,1/2)$
• ${𝐫}_4=(1/4,1/4,1/4)$
• ${𝐫}_5=(3/4,3/4,1/4)$
• ${𝐫}_6=(3/4,1/4,3/4)$
• ${𝐫}_7=(1/4,3/4,3/4)$

El factor s'estructura és $F(𝐪)=f(𝐪)(1+{\mathrm{(}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{)}}^{h+k}+{\mathrm{(}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{)}}^{k+l}+{\mathrm{(}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{)}}^{h+l}+{\mathrm{i}}^{h+k+l}+{\mathrm{i}}^{3h+k+3l}+{\mathrm{i}}^{3h+3k+l}+{\mathrm{i}}^{h+3k+3l})$

Si $h$, $k$ i $l$ són tots parells o impars el factor d'estructura pren els següents valors:

si $h+k+l$ és impar, $F=4f(1+i)$ o $F=4f(1-i)$ si $h+k+l$ és parell i $h+k+l=4n$, $F=8f$ si $h+k+l$ és parell i $h+k+l\ne 4n$, $F=0$

el factor d'estructura és 0 en tots els casos restants.