Factors d'escala (coordenades ortogonals)

Els factors d'escala o coeficients mètrics d'un sistema de coordenades ortogonals sobre l'espai euclídeo són les funcions que caracterisen el tensor mètric expressat en dites coordenades.

Introducció

Les llínees coordenades d'un sistema de coordenades en l'espai euclídeo tridimensional són aquelles que s'obtenen partint d'un punt donat, de coordenades $(q_1,q_2,q_3)$, variant una d'elles i mantenint fixes les atres dos. Un sistema de coordenades es diu ortogonal si les llínees coordenades són ortogonals en cada punt. Les coordenades cartesianas, les cilíndriques i les esfèriques, són eixemples de coordenades ortogonals.

Donat un conjunt de coordenades sobre l'espai euclídeo les llínees del qual coordenades es tallen en àngul recte, pot construir-se una base vectorial ortonormal en cada punt, a partir dels vectores tangentes a cada llínea coordenada. En l'obtenció d'estos vectores es definixen unes cantitats, denominades factors d'escala, que apareixen freqüentment en les fòrmules del càlcul vectorial. Prenent els vectores tangentes a cada llínea en un punt, obtenim tres vectores ortogonals entre sí, pero no necessàriament unitaris:

Per a obtindre un sistema ortonormal, dividim cada vector pel seu mòdul

Les cantitats $h_i$ són els denominats factors d'escala. El seu nom prové de que donen la proporció entre lo que varia una coordenada i el desplaçament que produïx esta variació. De fet el tensor mètric g_ij de l'espai euclídeo expressat en este sistema de coordenades:

Deu recordar-se que l'espai euclídeo, en el que existix una funció per a medir distàncies i llongituts de curves, té l'estructura de varietat de Riemann gràcies a l'existència de dit tensor mètric. Gràcies a eixa relació entre els factors d'escala i el tensor mètric, estes magnituts apareixen en multitut d'expressions de càlcul vectorial. Aixina, un "desplaçament infinitesimal" s'escriu:

La 3-forma element de volum, a partir de la qual es construïx el cridat "element de volum diferencial" ve dau en coordenades curvilíneas per:

També apareixen en les expressions en coordenades curvilíneas del gradient, la divergència i el rotacional.

Coordenades esfèriques i cilíndriques

Aplicant el càlcul dels factors d'escala a les coordenades cartesianas s'obté:

En coordenades cilíndriques:

i en coordenades esfèriques:

Bibliografia

• Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fòrmules i taules de matemàtica aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.